Site Basis Excitation Ansatz for Matrix Product States

Steven R. White 氏による論文「Site Basis Excitation Ansatz for Matrix Product States（行列積状態のためのサイト基底励起アンサッツ）」の技術的な要約を以下に示します。

1. 研究の背景と課題

量子多体系の基礎的な励起スペクトル（分散関係）の計算は、理論的理解と実験との比較において極めて重要です。特に 1 次元量子格子系において、行列積状態（MPS）を用いた励起アンサッツ（Excitation Ansatz; EA）は、単一モード近似の MPS 版として非常に効率的な手法として知られています。しかし、従来の EA には以下の技術的課題がありました。

• 計算コスト: 異なる運動量 $k$ ごとに、有効ハミルトニアンの対角化を個別に行う必要があり、計算効率が限られていました。
• 収束性の問題: 無限 MPS（iMPS）の基底状態を得るための変分法（VUMPS）は、初期値に依存して収束しない場合があり、計算が複雑でした。
• ゲージ条件の制約: 従来の EA では、異なるサイト上の励起状態を直交させるために「左直交ゲージ条件」を課すことが一般的でしたが、これが基底のサイズを不必要に大きくし、収束を妨げる要因となっていました。

2. 提案手法：サイト基底励起アンサッツ（SBEA）

著者は、これらの課題を解決し、より単純かつ効率的な手法として「サイト基底励起アンサッツ（Site Basis Excitation Ansatz; SBEA）」を提案しました。

A. 基底状態の取得（有限系 DMRG の活用）

無限 MPS の基底状態を得るために、従来の iDMRG や VUMPS に代わる、極めて単純な手法を提案しています。

1. 長い有限系（$N \gg \xi$、$\xi$ は相関長）で標準的な DMRG を実行し、中心部分のテンソルを取得します。
2. 中心リンクに新しいサイトを挿入し、ランチョス法を用いてそのサイト上のテンソルを最適化します（これは単一サイト DMRG のステップに相当）。
3. 得られたテンソルを対称化（$\lambda^{1/2}\Gamma\lambda^{1/2}$ 形式）することで、均一な無限 MPS（. . . AAA . . . 形式）を構築します。
   この手法は、VUMPS のような複雑な図式計算を不要とし、有限系 DMRG の信頼性と収束の速さを活かせます。

B. 励起状態の基底の構築（サイト基底）

従来の EA では、運動量 $k$ ごとに最適なテンソル $B(k)$ を求める必要がありましたが、SBEA では以下のアプローチをとります。

1. 単一サイトの対角化: 基底状態の MPS において、ある 1 サイトのテンソルを $B$ に置き換えた系を考え、そのサイトにおける有効ハミルトニアンの最低エネルギー固有状態をランチョス法で求めます。
2. 基底の生成: 得られた低エネルギー固有状態の集合 $\{B_\alpha\}$ を「サイト基底」として使用します。これらは運動量 $k$ に関わらず共通の基底空間を張ります。
3. 事前切断（Pre-truncation）: 環境の結合次元を事前に切断（$\chi_{tr}$）することで、必要な基底状態の数 $N_\alpha$ を大幅に削減します。
4. 非直交バンド理論: 異なるサイト上の基底状態 $\{B_\alpha\}$ は直交しないため、重なり行列（Overlap matrix）$\tilde{O}(k)$ とハミルトニアン行列 $\tilde{H}(k)$ を構成し、一般化固有値問題 $\tilde{H}(k)c = E(k)\tilde{O}(k)c$ を解くことで、任意の運動量 $k$ に対する励起エネルギー $E(k)$ を得ます。これは非直交バンド理論の対角化に相当し、非常に高速です。

C. ゲージ条件の重要性

本手法の重要な発見の一つは、左直交ゲージ条件を課さないことの重要性です。

• 従来のように左ゲージ条件（各サイトの空空間への射影）を課すと、低エネルギーの励起状態が得られず、基底サイズが必要以上に大きくなります。
• ゲージ条件を課さず、基底の非直交性を明示的に扱うことで、非常に小さな基底サイズ（$N_\alpha \approx 7$）で高精度な結果が得られることが示されました。

3. 主要な結果

$S=1$ ハルダイン鎖（反強磁性ハイゼンベルグモデル）をベンチマークとして、以下の結果が得られました。

• 高精度な分散関係: 基底サイズ $N_\alpha = 7$（事前切断 $\chi_{tr}=8$）を用いることで、ハルダインギャップ $\Delta/J \approx 0.4107$ を得て、厳密解（$0.410479...$）と極めて高い精度で一致しました。
• 計算効率: 基底状態の計算（O 行列と H 行列の構築）は有限系 DMRG と同等の計算量で済み、その後の任意の $k$ 点でのスペクトル計算は、微小な行列の対角化のみで数秒以内に行えます。
• ワニエ励起の構築: 運動量空間の励起状態の線形結合から、実空間で局在化した「ワニエ励起（Wannier excitations）」を構築しました。これらはワニエ関数と同様に局在しており、単一マグノンバンドを正確に再構成できることが示されました。これは、多マグノン励起を記述するための有効ハミルトニアンの構築への応用が期待されます。

4. 意義と結論

本論文の SBEA は、MPS を用いた励起スペクトル計算において、以下の点で画期的な進歩をもたらしました。

1. 簡素化と効率化: 複雑な無限 MPS 最適化アルゴリズムや、$k$ 依存の個別最適化を不要にし、計算のハードルを大幅に下げました。
2. 非直交性の活用: ゲージ条件を課さないことで生じる非直交性を積極的に利用し、基底サイズを最小化することで計算コストを劇的に削減しました。
3. 拡張性: この枠組みは、より大きな単位胞を持つ系や、2 次元系への応用（より困難な系）への道を開くものであり、特に有限相関長を持つ系において非常に有効です。

総じて、SBEA は単純でありながら高精度な励起スペクトル計算を可能にする、実用的で強力な手法として確立されました。