Sample-optimal single-copy quantum state tomography via shallow depth measurements

技術要約：浅い深さの測定を用いたサンプル最適単一コピー量子状態トモグラフィー

問題提起
量子状態トモグラフィー（QST）とは、測定データから量子状態 $\rho$ を再構成するタスクである。マルチコピーの集団測定は最適なサンプル複雑性を達成できる一方で、エラー訂正の欠如やコヒーレンスの制限がある近年のノイズの多い量子デバイスにおいては、実験的に実現不可能である。そのため、単一コピーの測定戦略が好まれる。しかし、近似的に最適なサンプル複雑性を達成する既存の単一コピープロトコルは、通常、深い回路（深さ $O(n)$）や複雑な正定値演算子値測定（POVM）を必要とし、これらは現在のハードウェアには非現実的である。本研究で対処する中心的な課題は、浅い深さの局所的な回路（具体的には深さ $O(\log n)$）が、再構成精度を犠牲にすることなく、単一コピー測定においてサンプル最適なQSTを実現できるか否かである。

手法
著者らは、対数的な深さを持つ局所的なランダム量子回路を用いた、アンシラフリーの単一コピーQSTプロトコルを提案している。その手法は以下のコンポーネントに基づいている：

1. ユニタリ・アンサンブル： クリフォードゲートを用いて、2つの特定の浅い深さの回路アンサンブルを構築する：
   • 2層ブロック・アンサンブル（図2b）： $k$ 量子ビットのクリフォードブロックによる交互のパターン（$U = U_2 U_1$）、ここで $k = O(\log n)$。これはランク $r$ の状態に使用される。
   • 単一層ブロック・アンサンブル（図2a）： クリフォード群からサンプリングされた、独立した $k$ 量子ビットのクリフォードブロック。これはフルランクの状態に使用される。
2. 推定量の構築： プロトコルは、不偏推定量 $\hat{\rho} = M^{-1}(U^\dagger |b\rangle\langle b| U)$ を用いる。ここで $M$ はユニタリ・アンサンブルに関連するシャドウチャネルである。バイアスのある推定量を利用していた先行研究とは異なり（それらはフィデリティ推定には十分であるが、トレースノル保証には不十分である）、本研究では厳密なトレース距離の境界を保証するために不偏推定量を構築している。
3. 集中解析： 不偏推定量の経験平均の集中性を証明することは技術的に困難である。著者らは、**ワインガートン計算（Weingarten calculus）と転送行列法（transfer matrix method）**を組み合わせている。
   • ランク $r$ の状態については、行列ベルンシュタイン不等式を利用する。
   • フルランクの状態については、ディディアルド（McDiarmid）の不等式を適用する。
   • 転送行列法は、回路のブロック構造にわたるパウリ演算子の結合を分析することで、推定量の二次のモーメントを抑え込むために使用される。

主な貢献と結果

• ランク $r$ の状態： 次元 $d=2^n$ におけるランク $r$ の量子状態に対し、2層ブロック・アンサンブルを用いた本プロトコルは、深さ $O(\log n)$ でトレースノル誤差 $\epsilon$ に対し、以下のサンプル複雑性を達成する：
  $$T = O\left(\frac{d r^2 \log d}{\epsilon^2}\right)$$
  これは、既知の単一コピーの下限 $\Omega(dr^2/\epsilon^2)$ と、対数因子を除いて一致している。証明によれば、連続するブロック間で $O(\log n)$ 量子ビットが重なっていることが、このスケーリングを維持するために十分である。

• フルランクの状態： フルランクの混合状態（$r=d$）に対しては、より単純な単一層ブロック・アンサンブルを用いることで、以下の最適なサンプル複雑性スケーリングを達成する：
  $$T = O\left(\frac{d^3}{\epsilon^2}\right)$$
  これにより、ランク $r$ のケースで見られた対数オーバーヘッドが除去され、フルランク状態の理論的な下限と一致する。

• 古典的後処理： 本論文は、明示的な古典的後処理アルゴリズムを提供している。

  • ランク $r$ の状態の場合、実行時間は $\tilde{O}(d^2 r^2 / \epsilon^2)$、メモリは $O(d^2)$ である。
  • フルランクの状態の場合、実行時間は $\tilde{O}(d^2)$、メモリは $O(d^2)$ であり、密度行列の出力には本質的に $\Omega(d^2)$ の時間が必要であることを考えると、多項式対数因子を除いて最適である。

• 数値検証： ランダムな8量子ビット状態を用いた数値シミュレーションにより、理論的予測が確認された。シミュレーションは、浅い深さの回路（ランク $r$ に対して $k=2$、$k \in \{1, 2, 4, 8\}$ のフルランク）が、サンプル数が増加するにつれて、グローバルなクリフォード・アンサンブル（$k=n$）と同等の再構成誤差を達成することを示している。

意義と主張
著者らは、以下の点において、サンプル最適なQSTが実験的にアクセス可能な浅い深さの測定を用いて実現可能であることを、自らの結果が示していると主張している：

1. 実現可能性： 深い回路（$O(n)$）の要求が $O(\log n)$ に緩和されており、限定された結合性とコヒーレンスを持つ近未来の量子デバイスにとって実行可能である。
2. 最適性： 本プロトコルは、フルランク状態に対して最適なサンプル複雑性を、低ランク状態に対しては近似的に最適な複雑性を達成しており、理論的な下限と実用的な実験的制約の間のギャップを埋めている。
3. 推定量の必要性： 本研究は、フィデリティのような特定の量にはバイアスのある推定量で十分であるが、QSTにおける小さなトレースノル誤差を保証するためには、不偏推定量が不可欠であり、それゆえに提供された特定の集中証明が必要であることを強調している。

論文では、ランク $r$ の状態について、上界における対数因子 $\ln(d)$ を排除できるかどうかは依然として未解決の問いであると控えめに述べている。加えて、解析は近似的なユニタリ・デザインを形成できるユニタリ・アンサンブルに依存しているが、統計的な証明は近似デザインの特性には明示的に依存しておらず、回路アーキテクチャ自体がQSTの性能にとって本質的な要因であるかという問いを残している。