Quantum theory for edge current and noise in two-dimensional topological superconductors

技術要約：二次元トポロジカル超伝導体におけるエッジ電流とノイズの量子論

問題提起
トポロジカル超伝導体は、対称性の破れを伴わないトポロジカル相転移や、マヨラナモードを宿すカイラルエッジ状態といった特異な性質を持つことで知られているが、二次元（2D）系におけるエッジ電流およびノイルに関する理論的理解は依然として限定的である。既存の文献は、主に準古典的アプローチ（例：ギンツブルグ・ランダウ理論、アイレンバーガー方程式）に依存しているか、あるいは1次元のワイヤーや接合に焦点を当てている。結晶格子構造を明示的に考慮して、エッジ電流とその揺らぎ（ノイズ）の両方を計算できる、二次元試料のための統一的な量子論は、微分抵抗の測定やエッジ電流のイメージングが可能な実験技術が登場しているにもかかわらず、これまで欠如していた。

手法
著者らは、T行列およびグリーン関数法に基づいた量子論を開発し、半無限の2D系におけるエッジスペクトル関数、エッジ電流、およびエッジノイズを計算する。

• モデリング: 系は、位置 $y=a$ にエッジを持つ正方格子としてモデル化され、$y=0$ における強い不純物線によってシミュレートされる。
• グリーン関数: 半無限平面の遅延グリーン関数は、クリーンな無限系のバルクグリーン関数に関連付けて、T行列形式を用いて導出される。
• 電流計算: エッジ電流は、最近接隣接点間の電流演算子の期待値から導かれる。これは非平衡ケルディッシュ・グリーン関数（$G^<$）を用いて表現され、平衡状態においては、スペクトル関数（$A$）およびフェルミ・ディラック分布に関連付けられる。
• ノイズ計算: 有限周波数ノイズは、電流－電流相関関数のフーリエ変換として定義される。ウィックの定理を用いることで、ノイズは、レスサー（lesser）グリーン関数（$G^<$）とグレーター（greater）グリーン関数（$G^>$）の積を含む積分として表現される。平衡状態では、エネルギーと運動量に関するスペクトル関数の積分へと簡略化される。
• 適用: この定式化は、カイラルエッジ状態を持つ2つの特定のモデル、すなわちQi-Wu-Zhang (QWZ) モデルとバイレイヤーモデルに適用される。トランスポート特性と相関させるために、チャーン数（Chern number）が独立して計算される。

主要な貢献と結果

1. 電流とノイズの区別:

   • エッジ電流: 本理論は、エッジ電流がカイラルなエッジ状態に対してのみ非ゼロであることを示している。非カイラルなエッジ状態では、電流の式に含まれる $\sin(k_x a)$ という因子が $k_x$ に関して偶関数であるスペクトル関数の積分によってゼロになるため、電流は消失する。
   • エッジノイズ: 対照的に、エッジノイズはカイラルおよび非カイラルなエッジ状態の両方において非ゼロである。これは、ノイズの式に $\sin^2(k_x a)$ という因子が含まれており、これは常に非負であり、非カイラルな状態であっても積分によって消滅しないためである。

2. トポロジカル不変量（チャーン数）との関係:

   • エッジノイズ: チャーン数が非ゼロ（$C \neq 0$）のモデルでは、エッジノイズは非ゼロとなる。$C=0$ の場合、エッジノイズは消失する（他のトポロジカル不変量が存在しない場合）。
   • バルクノイズ: バルク電流がゼロであっても、バルクノイズは非ゼロである。極めて重要なことに、バルクノイズはチャーン数が変化する化学ポテンシャル（$\mu$）の値において明確なピークを示す。著者らは、バルクノイズがトポロジカル感受率として機能することを示唆しており、そのピークの高さはチャーン数の $\mu$ に関する微分に比例する。
   • エッジ電流の微分: エッジ電流の化学ポテンシャルに対する微分（$|d\langle I_a \rangle / d\mu|$）は、超伝導秩序パラメータがホッピング積分に対して小さい場合、チャーン数の $\mu$ への依存性を概ね追随することが判明した。

3. モデル固有の知見:

   • Qi-Wu-Zhang (QWZ) モデル: 数値計算の結果は、エッジノイズが $C \neq 0$ の時にのみ非ゼロであることを裏付けている。バルクノイズのピークは、チャーン数が変化するトポロジカル相転移（ギャップの閉鎖）と一致している。
   • バイレイヤーモデル: 同様の挙動が観察され、エッジノイズは非ゼロのチャーン数区間を追跡し、バルクノイズは転移点でピークを示す。エッジ電流の微分は、チャーン数のステップを反映した階段状の挙動を示す。
   • 拡張モデル（ザック位相）: 本論文では、チャーン数がゼロであってもエッジ状態が存在する拡張モデル（例：ザック位相などの他のトポロジカル不変量によるもの）において、エッジノイズの挙動が標準的なチャーン数の依存性から逸脱し、代わりにこれらの他の不変量に関連付けられることを指摘している。

意義と主張
本論文は、格子構造を明示的に組み込んだ、2次元トポロジカル超伝導体におけるエッジ電流とノイズの初の統一的な量子計算を提供すると主張している。主な意義は、ノイズをトポロジカルな性質のプローブとして確立した点にある：

• トポロジカル感受率としてのバルクノイズ: 著者らは、バルクノイズを「トポロジカル感受率」と見なすことができると提案しており、バルク電流がゼロであっても、電流ノイズの揺らぎによるピークを通じてトポロジカル相転移のシグネチャーを提供できるとしている。
• カイラリティの検出: 理論は、電流がカイラリティの厳密な指標である一方で、ノイズはより堅牢な量であり、非カイラルなエッジ状態においても存続するものの、その大きさや挙動は依然としてカイラルな系におけるトポロジカル不変量に結びついていることを明らかにしている。
• 実験的関連性: 得られた結果は、ウェイル超伝導体の微分抵抗を測定したり、エッジ電流をイメージングしたりできる、新たな実験技術を解釈するための理論的基礎として位置づけられている。

著者らは、これらの結果の普遍性については慎重な姿勢を保っており、より現実的な系や異なるペアリング対称性（例：$s+id$）においてこれらの知見を検証するために今後の研究が必要であると述べている。彼らは、観測されたノイズとトポロジカル不変量の間の関係は、検討されたモデルに特有のものであり、異なる対称性を持つ系や他のトポロジカル不変量が存在する系では修正が必要になる可能性があることを明示している。