Impossible Counterfactuals, Discrete Hilbert Space and Bell's Theorem

ティム・パーマーの論文「不可能な反事実、離散的ヒルベルト空間、およびベルの定理」の解説です。分かりやすい言葉と日常的な比喩を用いて説明します。

大きな構図：50年来の謎を解く

数十年にわたり、物理学者たちはベルの定理に頭を悩ませてきました。実験によれば、粒子は「量子もつれ」の状態になることがあり、これは粒子が広大な距離を隔たっていても瞬時に通信しているかのように見え、私たちの通常の空間や時間の理解を覆すものです。これを説明するために、ほとんどの理論は、以下の3つのうちのどれかが起きていると示唆しています。

1. 非局所性： 粒子が光よりも速く情報を伝えている。
2. 実在性の欠如： 粒子は、私たちが観測するまで確定した性質を持っていない。
3. 陰謀： 実験者が何を測定するかを実際に選択できないよう、宇宙が仕組まれている（「超決定論的」な陰謀）。

ティム・パーマーの論文は、第4の道を提案しています。彼は、宇宙は「奇妙」でも「仕組まれたもの」でもないと考えています。その代わりに、宇宙は連続的ではなく離散的（微細で分割不可能な塊から成る）であるというのです。このため、たとえ私たちが自由に選べると思っているとしても、数学的に実行不可能な測定が存在することになります。

核となるアイデア：「ピクセル化された」宇宙

宇宙が高解像度のデジタル写真のようなものだと想像してみてください。私たちの目には、滑らかで連続しているように見えます。しかし、十分にズームアップすると、実際には小さな正方形のピクセルで構成されていることが分かります。線の幅を「半ピクセル」にすることはできず、必ず1ピクセルか2ピクセルでなければなりません。

パーマーは、自身の理論を**有理量子力学（RaQM）**と呼んでいます。

• ルール： この理論では、粒子の「状態」は、その性質（角度や確率など）が有理数（1/2、3/4、7/10のような分数）である場合にのみ、数学的に定義されます。
• 問題： もし、角度が無理数（$\pi$ や $\sqrt{2}$ など）になるような実験を設定しようとすると、その特定の構成において粒子の状態は単に存在しなくなります。粒子が隠れているのではなく、その特定の測定が行われる「世界」自体が数学的に未定義なのです。

「不可能三角形」の比喩

なぜこれがベルの定理を打破するのかを理解するために、アリス、ボブ、チャーリーという3人の友人がいるゲームを想像してみてください。彼らは巨大な球体（空）の上に立っています。

1. 設定： アリスとボブは遠く離れています。彼らはそれぞれコンパスを持っています。彼らは自分たちのコンパスの間の角度を測定しようとしています。
2. 「現実」の世界： アリスがある方向を選びます。ボブがある方向を選びます。彼らはその角度を測定します。パーマーの理論では、宇宙が「機能」するためには、その角度の余弦（コサイン）が有理数（きれいな分数）でなければなりません。
3. 「もしも」（反事実）： ベルの定理はこう問いかけます。「もしボブが別の方向を選んでいたらどうなっていたか？」
   • 標準的な物理学では、ボブはどんな方向でも選ぶことができ、その場合でも宇宙は成立すると仮定します。
   • パーマーの理論では、もしボブが方向をわずかに変えたとしたら、彼はアリスとの角度が無理数になってしまう方向を誤って選んでしまうかもしれません。
   • 結果： その特定の「もしも」のシナリオにおいては、宇宙は存在することができません。粒子の状態は未定義となります。それは、存在しない土台の上に家を建てようとするようなものです。

「自由意志」の誤解

ここが論文の中で難解ですが重要な部分です。批判者は、「もし一部の測定が不可能だと言うなら、それは実験者の自由意志を奪っているのではないか！」と言うことがあります。

パーマーは言います：「いいえ、そうではありません。」

• 名目上の正確さ（自由意志）： あなたは測定の設定を完全に自由に選べます。「北を向け」と言うことができます。あなたの手ができる限り正確に設定できます。
• 厳密な精度（限界）： しかし、あなたはコンパスの厳密な原子レベルの位置を制御することはできません。なぜなら、宇宙は遠くのブラックホールからの重力波のように、あなたが制御できないものによって絶えず揺さぶられているからです。
• 比喩： 鉛筆をその先端でバランスよく立てようとしている場面を想像してください。あなたは完璧にバランスを取ろうと（自由意志）できます。しかし、床の微細な振動や空気の流れを制御することはできません。したがって、あなたは決して「完璧な」バランスを実現することはできません。
• 結論： あなたは「名目上の」設定（例：「北」）を自由に選べますが、「厳密な」設定（例：「北 ＋ 0.0000000001度」）を制御することは決してできません。もしその制御不能な極微の要素が、数学を無理数にしてしまうとしたら、その特定の「完璧な」世界は決して起こり得ないのです。

なぜこれが謎を解くのか

ベルの定理は、ある数学的なトリックに基づいています。それは、3つの異なるシナリオ（アリスとボブ、アリスとチャーリー、ボブとチャーリー）の結果を、同一の粒子に対して同時に比較できると仮定している点です。

パーマーは、宇宙の「ピクセル化された」性質ゆえに、次のように主張します。

1. アリスとボブを一緒に測定できる（数学は成立する）。
2. アリスとチャーリーを一緒に測定できる（数学は成立する）。
3. ボブとチャーリーを一緒に測定できる（数学は成立する）。
4. しかし、ベルの不等式を証明するために必要な厳密な精度を持って、これら3組のペアを同時に測定できるような単一の宇宙を持つことは決してできないのです。

「不可能三角形」の角度を持つ世界は、単一の整合した現実としては存在できません。したがって、「遠隔地での不気味な作用」を証明するための不等式は、実際にはテストされることさえあり得ないのです。宇宙は非局所的なのではなく、ベルが数学で使用した「もしも」のシナリオが不可能な世界であるだけなのです。

「フラクタル」との繋がり

この論文は、宇宙がフラクタル（無限に繰り返される形）である可能性についても触れています。

• 海岸線を考えてみてください。遠くからは滑らかに見えます。近づくとギザギザしており、さらに近づくともっと激しくギザギザしています。
• パーマーは、宇宙の「状態空間」（起こりうるすべての現実のマップ）はフラクタルであると示唆しています。
• このマップ上のほとんどの「点」（無理数）は、実際には穴や隙間です。宇宙は「固形部分」（有理数）の上にのみ存在します。
• これは、デヴィッド・ボームやバジル・ハイリーが提唱した「ホリスティック（全体論的）な宇宙」の概念にもつながります。すべてが魔法のような信号によってつながっているのではなく、宇宙が単一の複雑で決定論的な機械であり、特定のパターンのみを許容しているという考え方です。

結論

ティム・パーマーはこう述べています。

• 私たちは、超光速通信を信じる必要はありません。
• 宇宙が私たちに対して陰謀を企てていると信じる必要もありません。
• 現実が現実ではないと信じる必要もありません。
• 私たちはただ、宇宙が離散的（ピクセル化されている）であり、重力やカオスによって厳密な測定を制御することは不可能である、という事実を受け入れる必要があるのです。

このため、ベルの定理を証明するために必要な「不可能な」世界は、単に存在し得ないのです。量子もつれの謎は、宇宙には「解像度の限界」があり、私たちは宇宙が描くことができない絵を無理に描かせようとしているのだ、と理解することで解決します。

著者からの最終的な考察：
もしこれが真実なら、あらゆるものを見通す「万物の理論」を見つけるために、より巨大な粒子加速器を建設することは時間の無駄かもしれません。代わりに、私たちは量子力学自体の限界を探り、重力がなぜ宇宙を「ピクセル化」させているのかを理解するための鍵であることを探求すべきなのです。