Global regularity for the Navier-Stokes equations with application to global solvability for the Euler equations

技術要約：ナビエ・ストークス方程式のグローバルな正則性と、オイラー方程式のグローバルな解存在への応用

問題設定
本論文は、$d$次元非圧縮ナビエ・ストークス方程式（ここで $d \ge 3$）における長年の課題であるグローバルな正則性に対処している。具体的には、初期データ $u_0$ がソボレフ空間 $H^s(\mathbb{R}^d)$（ただし $s \ge -1 + d/2$）に属する場合、ルエー・ホップ（Leray-Hopf）弱解が、既知の通り全時間において滑らか（正則）であり続けるかどうかを調査している。弱解のグローバルな存在は確立されているものの、次元 $d \ge 3$ におけるその一意性と正則性は未解決のままである。さらに、本論文はこれらの正則性結果を粘性消失極限に適用することで、同様の初期データ条件下での非圧縮オイラー方程式のグローバルな存在性を確立することを目的としている。

手法
著者は、「超臨界（supercritical）」関数空間 $X_1$ の構築を中心とした新しいアプローチを採用し、解の高周波成分に対するエネルギーノルムの重ね合わせ法を用いている。

1. 超臨界空間 ($X_1$) の構築:
   核心となる革新は、臨界型同次ソボレフ空間 $\dot{H}^{-1+d/2}(\mathbb{R}^d)$ よりもわずかに弱い空間 $X_1$ の定義である。$X_1$ のノルムは、周波数領域における「非常に疎な逆対数重み」を組み込んでいる。具体的には、この空間はリトルウッド・パレイ（Littlewood-Paley）分解 $\Delta_j$ を用いて定義されており、ノルムは（特に $j = i + 2^{2k}$ となる疎なインデックス集合においてのみ対数的に増大する）数列 $a(j)$ を含む。この疎性は、推定に必要とされる特定の平均化条件を満たすために極めて重要である。

2. 高周波エネルギー推定:
   対流項 $(u \cdot \nabla)u$ を単なる二次非線形として扱うのではなく、高周波成分 $u_k$（ここで $u_k$ は周波数 $|\xi| \ge k$ を表す）に対して運動量方程式をテストすることで、キャンセレーション特性 $((u \cdot \nabla)u_k, u_k) = 0$ を利用する。これにより、$u_k$ の $L^2$ ノルムに関する微分不等式が得られる。著者は、高周波エネルギーの増大が、空間 $X_1$ のトポロジーに依存する因子 $c(k)$ と、$X_1$ のノルムによって制御されるという推定式を導出している。

3. 重ね合わせと再スケーリング:
   著者は、これらの高周波推定をすべての $k \in \mathbb{N}$ について和をとる。主要なテクニカル・レマ（補題 3.1 および 3.2）は、総和から生じる係数の数列 $b(j)$ が平均化条件（$\sum_{k=1}^n c(k) \lesssim n$）を満たすことを示している。これにより、エネルギーノルムの重ね合わせによって、臨界および劣臨界ノルムの推定を回復することが可能となる。
   決定的なことに、証明には再スケーリングの議論が用いられている。解を $u_\lambda(t, x) = \lambda u(\lambda^2 t, \lambda x)$ と再スケーリングすることにより、スケーリング・パラメータ $\lambda$ が十分に大きいとき、ノルム $\|u_\lambda\|_{X_1}$ が一様に小さくなることを示す。この「小ささ」により、非線形項を粘性係数 $\nu$ に依存することなく、散逸項の中に吸収することが可能となる。

主要な結果
本論文は以下の主要な定理を確立している。

• 定理 1.1 (ナビエ・ストークス方程式のグローバルな正則性): $d \ge 3$ かつ $s \ge -1 + d/2$ である初期データ $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^d)$ に対して、任意のルエー・ホップ弱解は $L^\infty(0, \infty; H^s(\mathbb{R}^d)) \cap L^2(0, \infty; H^{s+1}(\mathbb{R}^d))$ に属する。この解はグローバルに正則であり、一意的である。

  • 推定の意義: 導出されたエネルギー推定式 (1.3) は、粘性係数 $\nu$ に関して一様である。この $\nu$ への独立性は、証明における極めて重要な特徴である。

• 定理 4.2 (オイラー方程式のグローバルな解存在): ナビエ・ストークス方程式の一様な正則性推定の直接的な系として、本論文は、初期データ $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^d)$（ただし $s \ge -1 + d/2$）に対する非圧縮オイラー方程式の弱解のグローバルな存在を証明する。

  • 一意性: $s > 1 + d/2$ であれば、解は一意的である。
  • 手法: この結果は、ナビエ・ストークス解の列のコンパクト性と、定理 1.1 で確立された一様な有界性に依拠した、粘性消失極限を通じて得られる。

意義と主張
本論文の主要な貢献は、臨界ノルムに対する小ささの条件や、解自体に対する追加のスケーリング不変な制約を必要とする従来の正則性基準の限界を回避した点にあると主張されている。特定の疎な対数重みを持つ超臨界空間 $X_1$ を構築することで、高周波エネルギー散逸の「平均化」が、非線形性をグローバルに制御するのに十分であることを著者は示している。

著者は、正則性の定数が粘性係数 $\nu$ から独立していることが、オイラー方程式への移行を可能にする決定的な要因であると強調している。これは、初期データ $u_0 \in H^s$（$s \ge -1 + d/2$）に対して、次元 $d \ge 3$ におけるオイラー方程式のグローバルな存在性への道を開くものである。この結果は、これまでの文献において、このような正則性仮定の下では一般に確立されていなかったものである。本研究は、臨界空間（例えば $\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}$）に関する先行研究を拡張し、解が常に臨界空間に留まることを要求するのではなく、むしろ解が劣臨界空間 $H^s$ に留まることを証明することで、より広いクラスの初期データに対するグローバルな正則性結果を提供している。