Interpretation of stochastic primitive equations with relaxed hydrostatic assumption as a higher order approximation of 3D stochastic Navier-Stokes

技術要約：緩和された静水圧仮定を伴う確率的原始方程式の解釈

問題設定
本論文は、3次元確率ナビエ・ストークス方程式（具体的には位置不確実性（Location Uncertainty; LU）フレームワーク内）の解が、その原始方程式（primitive equations）へと収束するかどうかを調査している。本研究は、垂直加速度が無視できると仮定する古典的な「強静水圧仮定」の限界に対処するものである。この仮定は大規模な海洋力学においては有効であるが、深層対流や強い垂直上昇・下降といった現象を捉えるには不十分である。著者らは、静水圧平衡からの偏差を表す特定のマルチンゲール項を保持する「緩和された（または弱い）」静水圧仮定が、標準的な強静水圧モデルと比較して、3次元確率ナビエ・ストークス方程式のより高次の近似を提供するかどうかを明らかにすることを目的としている。

手法
著者らは、ラグランジュ的な変位を、大規模なオイラー的な速度と小規模で高頻度に振動するノイズ項に分解することで流体の流れをモデル化する、位置不確実性（LU）フレームワークを採用している。手法には以下のステップが含まれる：

1. スケーリングと漸近解析： 著者らは、アスペクト比を $\epsilon$ とする薄い領域 $S_\epsilon = S_H \times (-\epsilon, \epsilon)$ を検討する。著者らはスケーリングされたLUナビエ・ストークス方程式（SNS）を導出し、水平方向と垂直方向のノイズへの寄与を区別するために、垂直ノイズのスケーリング係数 $\alpha_\sigma$ を導入する。
2. モデルの導出：
   • 強静水圧モデル (PE)： 垂直運動方程式において $\epsilon^2$ 次の項を形式的に破棄することによって導出される。
   • 弱静水圧モデル ($PE^\epsilon_{\alpha_\sigma}$)： 垂直運動方程式において $\alpha_\sigma \epsilon^2$ および $\alpha_\sigma^2 \epsilon^2$ 次の項を保持することによって導出される。このモデルには、垂直加速度の偏差を表すマルチンゲール項が含まれている。ウェルポーズドネス（解の存在と一意性）を確保するため、著者らは畳み込みカーネル $K$ による正則化を導入し、垂直運動方程式における高周波ノイズの寄与をフィルタリングする。
3. 数学的ツール：
   • 修正レレイ射影演算子： 確率的な設定における圧力項を扱うために、著者らは「修正された」レレイ射影演算子 ($P$ および $P_\epsilon$) を定義する。これらの射影演算子は、確率的な圧力から生じるスケーリングされた勾配項を相殺し、伊藤の共分散項が存在する場合でも、古典的なレレイ理論のツールの適用を可能にする。
   • 収束レジーム： 解析は以下の2つの境界条件レジームを対象とする：
     • 剛体蓋（Rigid-lid）： 弱解の $L^2-H^1$ 収束を研究するために使用される。
     • 完全周期（Fully Periodic）： 強解の $H^1-H^2$ 収束を研究するために使用される。
4. 誤差推定： 著者らは、正則化されたスケーリング・ナビエ・ストークス方程式 ($rSNS^\epsilon_{\alpha_\sigma}$) と正則化された原始方程式 ($PE^\epsilon_{\alpha_\sigma}$) の間の誤差に関するエネルギー評価を確立する。誤差の第2モーメントを抑え込むために、確率的グロンウォールの不等式およびバークホルダー・デヴィディア・ガンドキー（BDG）不等式を利用する。

主要な貢献と結果

1. 高次近似： 本論文は、垂直ノイズ係数 $\alpha_\sigma$ が特定のスケーリング条件を満たす場合、弱静水圧原始方程式が、強静水圧方程式よりも3次元LUナビエ・ストークス方程式のより高次の近似を提供することを実証している。
2. 収束率：
   • 弱静水圧モデルの場合： 漸近誤差は $O(\alpha_\sigma^2 \epsilon^2)$ 次の項によって抑えられる。$\alpha_\sigma = o(\epsilon^{-1})$ のときに確率収束が確立される。
   • 強静水圧モデル（または非正則化ナビエ・ストークスと弱モデルとの比較）の場合： 誤差界は $O(\alpha_\sigma^4 \epsilon^2)$ 次の項を含む。したがって、$\alpha_\sigma$ が大きいが $\alpha_\sigma \epsilon$ が小さいレジームにおいて、弱静水圧モデルは著しく優れた近似であることが示されている。
3. 「グレーゾーン」の特定： 著者らは、$\alpha_\sigma \sim \epsilon^{-\gamma}$ かつ $\gamma \in [1/2, 1)$ である特定のレジームを特定した。このゾーンにおいて、弱静水圧原始方程式は正則化されたナビエ・ストークス系に対して適切な近似となるが、強静水圧方程式はそうではない。
4. ウェルポーズドネスと爆発時間： 本研究は、薄い領域における決定論的なウェルポーズドネスの結果を確率的な文脈へと一般化している。スケーリングされたナビエ・ストークス方程式の爆発時間は、アスペクト比 $\epsilon \to 0$ のとき、確率的に無限大に発散することが示されている。
5. 技術的革新： 「修正された」レレイ射影演算子の導入が、重要な技術的貢献として強調されている。これにより、伊藤のレマから生じる確率的圧力勾配項を相殺することが可能となり、共分散項が推定を複雑にするであろう確率的な設定においても、標準的な関数解析ツールの使用が容易になる。

意義
本論文の主な意義は、確率的な地球物理流体力学において、緩和された静水圧仮定を使用することに対する厳密な数学的正当化を提供することにある。静水圧平衡からの偏差としてマルチンゲール項を保持することにより、提案されたモデルは、計算可能な原始方程式の形式性を維持しつつ、非静水圧効果（深層対流など）を捉えることができる。結果は、適切にスケーリングされたノイズの下では、弱静水圧モデルが、特に垂直加速度が無視できないレジームにおいて、従来の強静水圧近似よりも3次元乱流のより正確な表現を提供することを示唆している。本研究は、決定論的な収束結果（特に[34]によるもの）を確率的な設定へと拡張し、解の非一意性と、気候および海洋モデリングにおける確率的予測の必要性がもたらす課題に対処している。