A multi-eigenbasis approach to covariance matrix denoising for cosmological inference

技術要約：宇宙論的推論のための多重固有基底を用いた共分散行列のデノイジング（雑音除去）

問題提起
共分散行列の正確な推定は、特に大規模構造サーベイにおける宇宙論パラメータ推論において、サブパーセント精度の達成を目指す上で極めて重要である。主要な課題は、データベクトルの次元数（$n$）が利用可能な独立サンプルの数（$N$）を上回る場合に発生する。この領域（$N < n$）では、標本共分散行列は特異となり非可逆となるため、標準的な尤度解析には使用できない。

この問題は、3Dライマン・アルファ（$Ly\alpha$）フォレスト解析において深刻である。この解析では、共動分離のビンにおける自己相関およびクエーサーとの相互相関を測定する。結果として得られるデータベクトルは非常に大きく（例：DESI DR1データセットでは$7500 \times 7500$）、一方で利用可能なサブサンプル数（通常は約1000個のHEALPixピクセル）は、信頼できる可逆な推定値を作成するには不十分である。この問題を緩和するための現在の標準的なアプローチは、分離距離に基づいて相関行列の非対角要素を平滑化することであるが、この手順は強い構造的仮定を課すため、真の広域相関構造（宇宙論的分散から生じるものなど）を消失させてしまう。これは、不確実性の過小評価や制約力の喪失を招く可能性がある。収縮推定（shrinkage estimators）やニューラルネットワークを用いた手法も存在するが、高次元データにおける特異行列への対応や計算コストに関する制限がある。

手法
本論文では、モックシミュレーションを活用して、ノイズの多いデータ駆動型の推定値から信頼できる共分散行列を再構成する、新しい「多重固有基底デノイジング（multi-eigenbasis denoising）」フレームワークを提案する。この手法は、真の共分散構造が、大量のモック実現数のスタッキングから得られるノイズレスな共分散行列によって合理的に捉えられているという仮定の下で動作する。プロセスは主に2つの段階で構成される。

1. 参照固有基底による初期再構成:

   • 「真の」参照相関行列（$R_{ref}$）は、2つの異なるモック・スイート（Ly$\alpha$CoLoReおよびSaclay DESK DR1モック）から得られたノイズレスな相関行列の非加重平均を取ることで構築される。
   • ノイズを含む入力相関行列（$R_{noisy}$）は、参照行列（$R_{ref}$）の固有基底（$V$）上に投影される。
   • 得られた投影行列は近似的に対角行列となる。これらの対角要素は「擬似固有値（pseudo-eigenvalues）」と呼ばれ、各参照固有ベクトルによる信号成分を表し、非対角要素はノイズとして扱われる。
   • 初期デノイズ推定値（$\hat{R}_{initial}$）は、これらの対角な擬似固有値を元の基底へと回転させることで再構成される。これにより、参照によって定義された支配的な信号構造を保持しつつ、ノイズを効果的にフィルタリングする。

2. 重み付き残差補正:

   • 参照固有基底は、特定のノイズを含む実現における信号を完全には捉えきれない可能性があること（モック間の差異によるもの）を認識し、残差補正が適用される。
   • 分類器は、ノイズを含む行列の擬似固有値を用いて、与えられた入力と利用可能なモック・スイートとの間の類似度を判定するように訓練される。この分類器は、重み付き距離指標を使用し、ここで重みは、固有モードがモック・スイート間を区別する能力（スイート内の分散に対するスイート間の分散の大きさ）に基づいて割り当てられる。
   • 分類に基づき、モック・スイートからの「真の」残差行列（$\Delta_s = R_{s,truth} - \hat{R}_{initial,s}$）の加重平均が計算される。
   • この重み付き残差行列は固有分解され、第2の固有基底を形成する。ノイズを含む残差（$R_{noisy} - \hat{R}_{initial}$）はこの第2の基底に投影され、その対角要素を用いてデノイズされた残差補正（$\hat{\Delta}$）が再構成される。
   • 最終的なデノイズされた相関行列は、初期推定値とデノイズされた残差の和となる：$\hat{R}_{final} = \hat{R}_{initial} + \hat{\Delta}$。
   • 最後に、正しい共分散スケールを復元するために、デノイズされた相関行列は入力データの測定された分散によって再スケーリングされる。

主な結果
本手法は、分類器の訓練に使用されなかったモック共分散のテストセットを用いて検証された。その際、スタッキングされたモックの「真の」共分散をグラウンドトゥルース（正解）とした。

• 行列レベルの再構成: デノイズされた行列は、現在の平滑化ベースのアプローチに対して大幅な改善を示した。真の値に対するフロベニウスノルムおよび平均二乗誤差（MSE）は、元のノイズを含む行列と比較して、それぞれ約30倍および1000倍減少した。最終的なデノイズ行列は、初期再構成段階よりも約4.2倍低い中央値のカルバック・ライブラー（KL）ダイバージェンスを達成しており、これは真の情報量により近いことを示している。
• 宇宙論パラメータの回収: フルシェイプ・コスモロジカル・フィット（BAO、Alcock-Pacýński、および$f\sigma_8$パラメータの抽出）に使用した際、デノイズされた共分散は、真の共分散に近いゼロ付近のパラメータバイアスをもたらした。極めて重要なことに、デノイズされた共分散を用いた場合のパラメータバイアスの分布は、平滑化アプローチよりも有意に狭くなっており、これは実現間での一貫した回収が可能であることを示している。
• 不確実性の較正: 推定された不確実性と真の不確実性の比（$\sigma_{method}/\sigma_{truth}$）は、平滑化アプローチとデノイズアプローチの両方で1付近に中心化されていたが、デノイズアプローチはよりタイトな分布を示した。これは、より信頼性の高い不確実性推定を示唆している。
• DESI DR1への適用: 実際のDESI DR1 $Ly\alpha$データセットに適用したところ、デノイズされた共分散は、BAOおよびAlcock-Pacýńskiパラメータについて、標準的な平滑化解析と一致する結果を示した。$f\sigma_8$については約$0.5\sigma$のシフトが観察されたが、著者らはこのパラメータがこれまでのフルシェープ解析においてバイアスがないことが実証されていないことを指摘しており、このシフトの解釈には注意が必要であるとしている。

意義と主張
本論文は、現在の平滑化技術のような強引な構造的仮定に依存することなく、非可逆な標本共分散行列をデノイズするための、原理に基づいた経験的に動機付けられた手法を提示していると主張している。モックシミュレーションに条件付けられた多重固有基底アプローチを用いることで、平滑化によって失われてしまう相関構造を回収し、より一貫した宇宙論パラメータの回収と不確実性の較正を実現する。

著者らは、本手法がDESI $Ly\alpha$解析の文脈で開発されたものであるものの、一般的であり、データベクトルの次元がサンプル数を上回るあらゆる宇宙論的推論問題に適用可能であることを強調している。本研究は、現在の平滑化アプローチが、特定のパラメータについては検証されているものの、真の広域相関特徴を抑制してしまうことを浮き彫りにしている。提案された手法は、適切なモック・スイートを用いて参照固有基界を構築できるのであれば、限られたサンプルが存在する場合でも、大規模なデータベクトルの全情報量を活用するための道筋を提供するものである。著者らは、本手法の限界についても謙虚に述べており、それがモック・スイートの忠実度に依存していること、および完全な「リーヴ・ワン・スイート・アウト（一つを除いて検証）」バリデーションを行うための第3のモック・スイートが現在欠けていることを指摘している。