Precision renormalisation and improvement of $N_{\rm f}=3$ lattice QCD with Wilson fermions

技術要約：Wilsonフェルミオンを用いた$N_f=3$格子QCDの精密な繰り込みと改善

問題と動機
量子色力学（QCD）は、非摂動的な軽ハドロン物理から漸近的に高エネルギーの摂動領域に至るまで、エネルギー・スケールに応じて明確に異なる挙動を示す。格子QCDの持つ完全な予測能力、特に$b$クォーク質量や高温物理学のようなマルチスケール問題において、これらの領域を最大限に活用するためには、これらをつなぐ必要がある。ALPHAコラボレーションは、ステップ・スケーリング手法を用いて、小スケールにおける有限体積物理と大体積物理を反復的に接続することで、この課題に対処している。

この戦略、特に同コラボレーションのB物理学プログラムにとって、極めて重要な前提条件は、繰り込み係数および改善係数の精密な非摂動的決定である。先行研究では、より大きな格子間隔におけるこれらの係数が確立されているが、本研究は、連続極限への滑らかな到達を保証し、Wilsonフェルミオンにおけるカイラル対称性の回復を検証するために、これらの決定を大幅に小さな格子間隔（$a \approx 0.007$ fm から $0.08$ fm）へと拡張することを目的としている。

手法
本研究では、$N_f=3$の質量ゼロの海クォーク（sea flavour）とシュレディンガー関数（SF）境界条件を用いた、$O(a)$改善されたWilsonフェルミオンを採用している。シミュレーションは、固定された繰り込み済みグラディエントフロー結合 $\bar{g}^2_{GF}(L)$ および消失したクォーク質量によって定義される「一定物理線（Lines of Constant Physics: LCPs）」に沿って実施される。

1. LCPのチューニング: 著者らは、特定の繰り込み済み結合を体積 $L_0 \approx 0.25$ fm、$L_1 = 2L_0$、$L_2 = 4L_0$ で達成するために、裸のパラメータ ($g^2_0, \kappa$) をチューニングしている。結合はグラディエントフロー（フロー時間 $t = c^2L^2/8$、$c=0.3$）を介して定義され、トポロジカル・チャージの凍結を緩和するためにトポロジカル・チャージセクター $Q=0$ に投影されている。
2. 解像度: シミュレーションは格子解像度 $L/a = 64$ まで及んでおり、これにより離散化誤差の詳細なチェックと連続極限の検討が可能となっている。
3. 繰り込みと改善:
   • 質量ゼロ・セクター: 著者らは、軸ベクトル、擬スカラー、ベクトル、およびテンソル電流、ならびにクォーク質量の繰り込み定数 ($Z_A, Z_P, Z_V, Z_T$) および改善係数 ($c_A, b_V, c_T$) を決定している。
   • 質量ありセクター: B物理学を支援するため、本研究は質量を持つクエンチド・バレンス・クォークへと拡張されている。ここでは、「部分質量スキーム（partially massive scheme）」が定式化されており、質量パラメータ $\Delta$ は物理的なクォーク質量（チャームまたはボトム）と同程度の大きさに選ばれている。これにより、高次のカットオフ効果が繰り込み因子および改善係数に吸収され、厳密な質量ゼロ・スキームと比較して離散化誤差が低減される。
4. ステップ・スケーリング: 結合およびクォーク質量のステップ・スケーリング関数が、$L_0 \to 2L_0$ および $L_1 \to 2L_1$ の遷移に対して計算され、ステップ・スケーリング戦略に必要な架け橋を提供している。

主要な貢献と結果

• 高精度な繰り込み定数: 本論文は、$Z_A$ および $Z_P$ の前例のない精度での非摂動的決定を提供している。ワード恒等式（WIs）によって決定される量（$Z_A$ や $Z_V$ など）については、統計的誤差は極めて小さく、4桁から5桁の有意桁数を達成している。著者らは、この理由を、連続極限付近において、統計的分散が $g_0^2$ および $a/L$ によって抑制されるコンタクト項によって支配されるため、WI由来の量における統計的分散が強く抑制されていることにあるとしている。
• カイラル対称性の回復の検証: $Z_A$ の異なる定義および異なる格子間隔にわたる結果を比較することにより、本研究は連続極限においてカイラル対称性が回復されることを確認している。データは $O(a^2)$ の離散化誤差を含む普遍的なフィット関数によってよく記述されており、これは以前の大体積計算で使用された補間公式を正当化するものである。
• 部分質量スキーム: 著者らは、重いバレンス・クォークのための部分質量スキームを導入し、検証している。繰り込み群不変（RGI）な重いクォーク質量を固定し、それに応じて質量パラメータ $\Delta$ をチューニングすることで、質量ゼロ・スキームと比較して、重いクォークの観測量におけるカットオフ効果を大幅に低減できることを示している。これは、特に $b$ クォークにおいて、大体積シミュレーションで問題となる可能性のある離散化誤差を軽減する上で重要である。
• ステップ・スケーリング関数: 結合およびクォーク質量の新しい高精度なステップ・スケーリング関数が提示されている。これらの結果は、以前のグローバル・フィットと一致しているが、統計的な精度と $a/L$ の範囲のカバー範囲が向上しており、以前の連続極限外挿の妥当性を裏付けている。
• アルゴリズム解析: 本研究は、ハイブリッド・モンテカルロ（HMC）アルゴリズムのクリティカル・スローイングダウンを記録しており、期待される $\tau_{int} \propto a^{-2}$ のスケーリングを観察している。また、トポロジカル・チャージの凍結の影響についても分析しており、非常に微細な格子では $Q=0$ が凍結されるものの、$Q=0$ への投影がこれを効果的に処理していること、ただし中間的な体積においては自己相関時間の課題が存在することを指摘している。

意義と主張
本論文は、その結果が、QCDにおけるマルチスケール問題を解決するための「第一原理に基づいた戦略」を提供することを主張している。具体的には、ALPHAコラボレーションの枠組み内における $b$ クォーク質量の精密な取り扱いや、高温物理学を可能にするものである。

著者らは、繰り込み定数（特にワード恒等式から導出されたもの）の高精度さが、最終的なB物理学プロジェクトの物理的観測量における誤差の主たる要因にならないことを強調している。本研究は、重いクォーク有効理論（HQET）を非摂動的にQCDにマッチングさせるために必要な具体的な係数およびチューニング・パラメータ（広範な表に記載）を提供する、技術的な基礎として機能するものである。

また、本論文は、バレンス・セクターおよび質量ゼロの海クォークに対する係数は決定しているものの、海クォークに対するすべての質量依存係数は決定していないこと（現在のB物理学への適用に使用される特定のステップ・スケーリング関数にはそれらは必要ではないため）を控えめに述べている。しかしながら、部分質量スキームの有効性の実証と、カイラル対称性回復の精密な検証は、小さな $a$ における格子手法の堅牢な検証となっている。