Dyonic lattices, $\theta$-angles and axions in the Standard Model

技術要約：ダイオン格子、$\theta$角、および標準模型におけるアクシオン

問題設定
標準模型（SM）はそのゲージ対称性と物質の含有量によって定義されるが、その大域的なゲージ群の構造は依然として曖昧である。リー環は固定されているものの、大域的なトポロジーは、中心 $Z_6$ の商（quotient）に応じて4つの異なる群（$G_1, G_2, G_3, G_6$）のいずれかに対応し得る。この曖昧さは、許容されるトポロジカルな欠陥、特に磁気単極子（モノポール）およびダイオンのスペクトルに影響を与える。さらに、標準模型は、$U(1)_Y$、$SU(2)_L$、および $SU(3)_c$ セクターに関連する3つのトポロジカルな $\theta$ 角（$\theta_1, \theta_2, \theta_3$）を含んでいる。$\theta_3$ は強いCP問題によって制約されているが、$\theta_1$ と $\theta_2$ の物理的状態および周期性は、理論空間における非物理的な方向（具体的には $B+L$ アノマリーに関連するもの）や、大域的群の構造とウィッテン効果（Witten effect）との相互作用によって不明瞭なままである。本論文は、すべての可能な標準模型の大域的群構造に対して $\theta$ 空間を系統的に図式化し、結果として得られるダイオン電荷格子を決定し、アクシオン物理学、特にアクシオン・フォトンの結合に対する含意を理解する必要性に取り組むものである。

手法
著者らは、標準模型のトポロジカルなセクターを分析するために、一般化された対称性（特に1形式対称性）とウィッテン効果を組み合わせた手法を用いている。

1. 大域的群の分類: 本研究では、4つの可能な大域的ゲージ群 $G_p = SU(3)_c \times SU(2)_L \times U(1)_Y / Z_p$ （$p \in \{1, 2, 3, 6\}$）を検討する。特定の中心要素の存在または不在によって、許容される磁気フラックス（$nm_6$）および電気的 $n$-性（$n$-ality）（$n_6$）が決定される。
2. ウィッテン効果の分析: 各群について、非ゼロの $\theta$ 角が磁気単極子にどのように電気的電荷（または $n$-性）を誘起するかを計算する。これは、商を取られた群の要素が 't Hooft 線（モノポール解）に作用することを調べ、ディラックの量子化条件との整合性を強制することによって導出される。
3. $\theta$ 空間の特性評価: 著者らは、各群に対して $\theta$ 多様体の3つの主要な特徴を特定している：
   • 周期性 ($\Delta \vec{\theta}$): トーラスを定義する等価関係。
   • 整数値の点 ($\vec{\theta}_\star$): ダイオン格子が整数値の電気的および磁気的量子数を保持する値。
   • CP不変な点 ($\vec{\theta}_\ddagger$): スペクトルがCP変換に対して不変となる値。
4. フェルミオン投影: 著者らは、標準模型の完全なフェルミオン含有量を組み込んでいる。彼らは、アノマリーを持つ $U(1)_{B+L}$ 対称性が $\theta$ 角の3トーラスにおける一つの方向を非物理的なものにすることを証明している。この非物理的な方向を直交方向へ投影することで、有効な電磁 $\theta$ パラメータ（$\theta_{em}$）とその周期性を導出し、物理的な空間が3トーラスから2トーラス（$\theta_{em}, \theta_3$）へと減少することを示す。
5. アクシオンの埋め込み: アクシオンの異常係数（$E, N$）を制約するために、$\theta$ トーラスのトポロジーを用いる。著者らは、アクシオン場がトーラスをどのように巻くかを分析することで、真空の数（$N_{DW}$）およびアクシオン・フォトン結合（$g_{a\gamma\gamma}$）を決定する。

主な貢献および結果

• ダイオン格子と $\theta$ 周期性: 本論文は、すべての可能な標準模型の大域的群構造に対して、ダイオン電荷格子を構築し分類している。既知の周期性を再導出し、特定の $\theta$ 値がどのように異なるスペクトルの族を導くかを決定している。

  • $G_1$（普遍被覆群）の場合、$\theta$ 空間は標準的な周期性を持つ3トーラスである。
  • $G_2, G_3, G_6$ の場合、周期性は修正され、$\theta$ 空間は $\theta_1$ と $\theta_2$ の間の非自明な相関（例：$G_2$ における結合）を示す。
  • 著者らは、ダイオン格子が整数値の電荷で構成される「特別な点」$\vec{\theta}_\star$ と、スペクトルがCP不変となる点 $\vec{\theta}_\ddagger$ を特定している。いくつかのケース（例：$G_2$）では、CP不変な点は整数格子点と一致するが、他のケースではそれらは異なる。

• 物理的 $\theta$ 空間と $U(1)_{em}$: フェルミオンを考慮した後の物理的な $\theta$ 空間の導出は、本研究の中心的な結果である。著者らは、$B+L$ アノマリーが3トーラスを $\theta_3$ と $\theta_{em}$ によって張られる2トーラスへと投影することを示す。決定的なのは、電磁部分群 $U(1)_{em}$ が、アノマリーを持つ $B+L$ シフトに直交する方向として、電弱対称性の破れ（EWSB）よりも前に、物理的な方向として出現することである。$\theta_{em}$ の周期性は、大域的群 $G_p$ および最小ハイパーチャージ $Q_{min}$ に依存する。

• アクシオン物理学とドメインウォール:

  • 結合の量子化: $\theta$ トーラスのトポロジーは、アクシオンの異常係数 $E$ および $N$ に対する厳格な量子化条件を課す。$E$ と $N$ の関係は、大域的群およびコンポジットネス・パラメータ $k$（$Q_{min}$ に関連）に依存する。
  • ドメインウォール: QCDドメインウォールの数は $N_{DW} = 2N$ である。本論文は、QED誘起のアクシオン・ポテンシャルの極小値をカウントする、電磁方向に関連する新しいトポロジカル数 $E_{DW}$ を特定している。
  • アクシオン・フォトン結合: 著者らは、$Q_{min} \neq Q_{qL}$ である場合（すなわち $k \neq 0$ の場合）、アクシオン・フォトン結合 $g_{a\gamma\gamma}$ に対する制約が緩和されることを示している。具体的には、$N_{DW}=1$ の場合、コンポジットネスの度合い $k$ を調整することで、理論的に極めて小さい $g_{a\gamma\gamma}$（理論誤差の範囲内でゼロにさえなり得る）を実現することが可能である。これは、左手型クォーク二重項が最小のハイパーチャージを持つと仮定していた従来の知見とは対照的である。

• CP不変性: 本研究は、$\theta_{em} \neq 0$ である限り、単一のアクシオンでは標準模型の全真空をCP不変にすることは不十分であると結論づけている。アクシオンは強いCP問題を解決（$\theta_3 \to 0$）できるが、一般には $\theta_{em}$ を非ゼロの値へとシフトさせる。完全なCP不変性を回復するには、フォトンの結合を持つ第二のアクシオンが必要となるが、特定の群構造（$G'_3$）においては、それは複数の真空と潜在的な電磁ドメインウォールの問題をもたらす。

意義および主張
本論文は、$\theta \neq 0$ の条件下でのすべての可能な大域的群構造における標準模型のダイオン格子に関する、最初かつ詳細な調査を提供していると主張している。その主要な意義は以下の通りである：

1. 系統的分類: 標準模型の $\theta$ 空間、周期性、およびCP不変な点を完全にマッピングすることで、大域的群構造に関する曖昧さを解消した。
2. 現象論的予測: 非ゼロの電気的電荷を持つ $U(1)_{em}$ モノポールの発見が、標準模型の最後の未知のパラメータ（$\theta_{em}$）を決定することを示した。
3. アクシオンへの制約: 最小ハイパーチャージがクォーク二重項のものではないケースを含めて、アクシオンモデルへの制約を一般化した。これにより、従来の文献で導かれたアクシオン・フォトン結合の「強い」下限値は普遍的なものではなく、特定のات大域的群の選択によって回避可能であることを明らかにした。
4. トポロジカルな洞察: 電磁電荷の出現と $\theta$ 空間の次元の減少が、$B+L$ アノマリーのトポロジカルな帰結であり、ヒッグス機構とは独立して起こることを示した。

著者らは、$\theta_{em}$ がゼロになる条件を特定してはいるものの、具体的な実現は未知の大域的群およびコンポジットネス・パラメータ $k$ に依存することに触れ、控えめな立場をとっている。また、特定のセクターにおける分数的なインスタントン数を必要とする非標準的なインスタントン・ポテンシャルの動的な生成については、今後の課題としている。