Multi-particle states investigation with tensor renormalization group method

技術要約：テンソル繰り込み群法を用いた多粒子状態の調査

問題と動機
多粒子状態の研究は、核物理学や高エネルギー物理学（例：ハドロン崩壊）における強相互作用を持つ系の理解において極めて重要である。格子量子色力学（LQCD）は非摂動的な分光のためにモンテカルロ（MC）アルゴリズムを利用しているが、これらの手法には大きな課題がある。具体的には、高次固有状態からの寄与を抑制するために時間方向の大きな格子サイズが必要であり、励起状態の抽出におけるノイズを低減するために極めて高い統計量が必要となる。テンソルネットワーク法は、統計誤差を回避する決定論的な代替手段として台頭してきた。しかし、転送行列（TM）を用いたラグランジュ的アプローチおよび、単一時刻スライス・ネットワークを用いた高次テンソル繰り込み群（HOTRG）の従来の研究では、特に高次の励起状態や大きなシステムサイズにおいて、固有値の近接性（準縮退）に起因する大きな系統誤差が生じていた。これにより、低エネルギー状態の信頼できる抽出が制限されていた。

手法
本研究では、転送行列形式とテンソルネットワーク表現に基づいた、(1+1)次元イジングモデルに対する改良された分光スキームを提案する。本手法の核心は以下の通りである：

1. 転送行列およびテンソルネットワーク定式化： 分配関数は、転送行列 $T$ のトレースとして再定式化される。$T$ の固有値はエネルギー・スペクトル（$E_a = -\ln \lambda_a$）に対応する。量子数を特定するために必要な行列要素は、不純物テンソルネットワークとして表現される。
2. 新規な粗視化戦略： 従来の単一時刻スライス・アプローチにおける精度問題を解決するため、著者らは新しい粗視化戦略を導入する。時間・空間次元が等しい正方形のテンソルネットワークを用いる代わりに、より大きなメイン・ネットワークに埋め込まれた小さな空間サイズ $L_s^{(init)}$（具体的には $L_s^{(init)} \in \{1, 3, 5, 7\}$）を持つ初期テンソルネットワークを採用する。全空間サイズは $L_s = L_s^{(init)} \times 2^n$ となる。
   • この小さな初期ネットワークは、「HOTRG様」のアルゴリズムを用いて粗視化され、単一の有効なテンソルを生成する。
   • このテンソルは、その後埋め込まれ、標準的な2Dおよび1DのHOTRGステップを用いてさらに粗視化される。
   • 著者らは、粗視化誤差の蓄積と転送行列の固有値の縮退とのバランスを取るために、時間方向のサイズ $L_t$ を系統的に変化させ（$L_t = 2, 4, 8, 16, 64$ をテスト）、精度を最適化した。その結果、$L_t = 4$ および $L_t = 8$ が最小の相対誤差を与えることを見出した。
3. 量子数および運動量の特定： 量子数はあらかじめ既知ではないため、系に対称性に由来する選択則を用いて特定する。不純物テンソルネットワークとして表現された、補間演算子（$Z_2$ 対称性のためのスピン場および運動量演算子）の行列要素を計算する。
4. 散乱解析： 整合性を確保するため、3つの異なるアプローチを用いて、2粒子散乱位相差を計算する：
   • 有限体積エネルギー： 中心系（$P=0$）および移動系（$P \neq 0$）の両方におけるエネルギー・スペクトルにリュッシャー（Lüscher）の公式を適用する。
   • 波動関数（相互作用範囲の外側）： 自由領域におけるベテ・ザルピーター（Bethe-Salpeter, BS）波動関数をフィッティングして位相差を抽出する。
   • 波動関数（相互作用範囲の内側）： 相互作用範囲内における簡約されたBS波動関数法を用いて位相差を抽出する。

主な結果

• 精度の向上： $L_t = 4$ および $L_t = 8$ を用いた新しい粗視化戦略は、エネルギー・スペクトルの相対誤差を $O(10^{-3})$ のオーダーまで大幅に減少させた。これにより、従来の正方形ネットワーク・アプローチと比較して、高次の励起状態（$L_s=64$ において $a \approx 57$ まで）および大きなシステムサイズ（$L_s$ 最大112）の信頼できる同定が可能となった。
• 状態の分類：
  • 1粒子状態： 分散関係および、大体積極限においてエネルギーが静止質量 $m$ に接近することによって、$q=-1$ セクターで特定される。
  • 2粒子状態： $q=+1$ セクターで特定される。それらのエネルギーは、大体積極限において $2m$ に接近する。
  • 3粒子状態： $q=-1$ セクターで特定される。それらのエネルギーは、大体積極限において $3m$ に接近する。
• 散乱位相差： 3つの手法（リュッシャーの公式、外側での波動関数フィッティング、および内部でのBS波動関数）のすべてが、一貫した結果を与えた。(1+1)次元イジングモデルの散乱位相差は、弾性的領域（$0 \le k/m < \sqrt{3}$）内のすべての相対運動量に対して、一定の $\delta = -\pi/2$ であることが判明した。
• 縮退と分散関係：
  • 一定の位相差 $\delta = -\pi/2$ は、相対運動量の特定の量子化条件をもたらし、移動系（$P \neq 0$）における2粒子状態の4重縮退を引き起こす。
  • 著者らは、2粒子および3粒子状態の理論的な分散関係を導出し、検証した。
  • 3粒子セクターにおいて、エネルギー・スペクトルは、全運動量および、量子化条件によって許容される個々の粒子の運動量の特定の組み合わせに応じて、多様な縮退（非縮退、2重、4重、および8重）を示す。
• 波動関数： 2粒子基底状態の波動関数から導出された有効ポテンシャルは、原点における強い反発相互作用と、$T=2.44$ における約 $R \approx 40$ の相互作用範囲を示している。

意義および主張
本論文は、提案された粗視化戦略が従来のテンソルネットワーク分光法の限界を克服することに成功し、高次の励起状態および多粒子ダイナミクスの信頼できる抽出を可能にすることを主張している。本研究は以下のことを実証している：

1. テンソルネットワークは、統計ノイズなしに、多粒子状態（本研究では最大3粒子まで）とその量子数を決定論的に特定できる。
2. 3つの異なる手法（エネルギーに基づく手法および波動関数に基づく手法）間での位相差抽出の一貫性は、本アプローチの堅牢性を裏付けている。
3. 2粒子および3粒子セクターで観察された縮退は、イジングモデルの特定の散乱位相差（$\delta = -\pi/2$）の直接的な帰結であり、散乱特性と有限体積のスペクトル縮退との間の明確な関連性を提供している。

著者らは、このフレームワークが将来の4粒子状態の研究や、他の量子場理論への適用に向けた準備ができていると結論付けている。