Toric code made subsystem: a framework for topological subsystem codes using anticommuting quantum spin liquids

技術要約：トーリック符号のサブシステム化

問題提起
本論文は、多体トポロジカル秩序の特性を活用しつつ、サブシステム符号のハードウェア上の利点を提供する、フォールトトレラントな量子誤り訂正（QEC）符号の設計における課題に取り組んでいる。トーリック符号のようなトポロジカル・スタビライザー符号は局所的なノイズに対して堅牢性を提供するが、高次数のスタビライザー測定を必要とすることが多い。一方、ベーコン・ショア符号のようなサブシステム符号は、ゲージ自由度を利用してシンドローム抽出を簡素化できる（例：低次数のチェック演算子を使用する）が、格子幾何学に依存して複数の論理量子ビットをエンコードするトポロジカルな柔軟性に欠けることが多い。

著者らは、**反交換 $Z_2$ 量子スピン液体（ac-$Z_2$ QSL）**として知られる特定の量子スピン液体モデルを調査している。これらのモデルは、近年物性物理学の文献で提案されたものであり、互いに反交換する局所的な保存演算子によって生じる広範な基底状態縮退を特徴とする多体トポロジカル秩序を有している。中心的な問いは、標準的なトポロジカル符号が通常ギャップを持つスペクトルに依存しているのに対し、これらギャップレスで高度に縮退したスピン液体が、QECのための実行可能なトポロカル・サブシステム符号として機能し得るか、という点である。

手法
著者らは、ac-$Z_2$ QSL ハミルトニアンからトポロジカル・サブシステム符号を直接構築するための一般的なフレームワークを提案している。この構築は以下のレシピに従う：

1. ハミルトニアンの選択： 格子（例：正方格子またはカゴメ格子）上で定義された ac-$Z_2$ QSL ハミルトニアンから開始する。これらのハミルトニアンは、辺ではなく角を共有するマルチスピン相互作用項（プラケット演算子）で構成されており、隣接する項間の反交換性を導く。
2. チェック演算子の特定： コードのチェック演算子（ゲージ演算子）は、スピン液体のすべての局所的な保存量と可換である最小次数の演算子として特定される。提案されたモデルでは、これらはハミルトニアン自体のプラケット演算子（または関連するパウリ積）に対応する。
3. スタビライザーの構築： コードのスタビライザーは、格子の基本方向（行および列）に沿って局所的なチェック演算子を乗算することによって生成される。これらは非局所的であるが、すべてのチェック演算子と可換である。
4. 論理演算子： 論理量子ビット演算子は、格子のトポロジーを巻く非局所的な演算子として特定される。これらはすべてのチェック演算子およびスタビライザーと可換であり、かつ互いに反交換しなければならない。
5. サブシステムの定義： 反交換する局所的な保存演算子によって駆動されるスピン液体の広範な基底状態縮退が、ゲージ自由度（冗長なゲージ量子ビット）を定義する。これらのゲージ量子ビットはチェック演算子の測定によって乱されることなく、コードのサブシステム的側面を形成する。

主な貢献と結果
著者らは、反交換電荷（ACC）符号と呼ばれる、このフレームワークの2つの具体的な例を提示している：

1. 正方格子上の重み4符号：

   • 幾何学： 量子ビットは正方格子の頂点に存在する。
   • 演算子： ハミルトニアンは、角を共有するプラケット上の4スピン・プラケット演算子（$X$ 型および $Z$ 型）を含む。チェック演算子は、特定のプラケット上の重み4のパウリ $X, Z, Y$ 演算子である。
   • パラメータ： $L \times L$ 格子の場合、このコードは2つの論理量子ビットを、符号距離 $L$ でエンコードする。$L^2$ 個の物理量子ビットを使用し、$[L^2, 2, L]$ 符号となる。
   • サブシステムの特徴： このコードは $n = L^2/2 - 2L + 1$ 個のゲージ量子ビットを持つ。チェック演算子は角を共有する場合に互いに可換ではないため、エラーを論理情報に影響を与えることなくゲージ・サブシステムへと吸収させることが可能である。
   • 比較： この構成は、同じ数の論理量子ビットに対して標準的なトーリック符号の半分の物理量子ビットを必要とし、サブシステム表面符号の3分の1を必要とする。

2. カゴメ格子上の重み3符号：

   • 幾何学： 量子ビットはカゴメ格子の頂点に存在する。
   • 演算子： ハミルトニアンは3スピン三角プラケット演算子を含む。チェック演算子は重み3のパウリ $X$ および $Z$ 演算子である。
   • パラメータ： $L \times L$ 格子の場合、このコードは2つの論理量子ビットを、符号距離 $L$ でエンコードする。$3L^2$ 個の物理量子ビットを使用し、$[3L^2, 2, L]$ 符号となる。
   • 比較： 正方格子版よりも多くの物理量子ビットを必要とするが、このコードはより低次数の（重み3の）チェック演算子を利用しており、これは特定のハードウェア制約において有利になる可能性がある。

誤り訂正メカニズム
著者らは、両方の格子に対する誤り検出および訂正手順を詳述している：

• シンドローム抽出： 非局所的なスタビライザーは、局所的なチェック演算子を逐次的に測定することによって測定される。チェック演算子は反交換する場合があるため、特定の順序（例：すべての $X$ チェック、次にすべての $Z$ チェック）で測定される。
• 単一量子ビットエラー： エラーは、異なるスタビライザー集合からのシンドローム信号の交差によって局在化される。ゲージ量子ビットの存在により、複数の訂正パスが可能となる。一部の訂正は、ゲージ・サブシステムに非自明に作用する演算子を適用するが、論理状態は不変に保つ操作を含む場合がある。
• ストリングエラー： ストリング状のエラーは、最小重み完全マッチング（MWPM）デコーダを使用して訂正される。符号距離は格子サイズ $L$ によって制限される。なぜなら、$L/2$ を超える長さのエラー・ストリングは論理演算子として誤認される可能性があるからである。

意義と主張
本論文は、ac-$Z_2$ QSL ハミルトニアンが、新しいカテゴリーのトポロジカル・サブシステム符号を生成するための自然なテンプレートを提供すると主張している。その意義は、以下の2つの異なる概念の統合にある：

1. トポロジカル秩序： 論理量子ビットの数は、格子のグローバルなトポロジー（例：周期境界条件）によって決定され、局所的なノイズに対するトポロジカル符号のフォールトトレランスを継承する。
2. サブシステムの柔軟性： これらの符号は、チェック演算子の測定によって「乱されない」広範な局所ゲージ量子ビットを有している。この特徴は、標準的なサブシステム符号（ベーコン・ショア符号のようにトポロジカルではないもの）には欠けており、簡素化された誤り訂正と潜在的なエンコーディング率の向上を可能にする。

著者らは、このフレームワークが、異なる量子ハードウェアの接続性（例：IBMのヘビーヘックス配置やGoogleの正方格子）に合わせて、様々な格子タイプ（正方格子、カゴメ格子、またはその他のグラフ）上でコードを構築できる幾何学的な柔軟性を提供することを強調している。彼らは、これらのコードが重み2の構成（三配格子上のもの）とは異なり、重み3または重み4のチェック演算子を必要とするものの、量子ビットの効率性とトポロジカルな堅牢性において明確な利点があると明言している。最後に、これらのACC符号の性能閾値や特定の励起特性については、今後の研究における未解決の課題であると述べている。