Polynomial Initial-State Jumps and Christoffel Transforms in Krylov Complexity

技術要約：クリヨフ複雑性における多項式初期状態ジャンプとクリストッフェル変換

問題提起
状態クリヨフ（またはスプレッド）複雑性は、ハミルトニアン $H$ と初期シード状態 $|K_0\rangle$ によって生成される巡回部分空間内でのユニタリ進化を特徴付ける。この構成により、特定の順序付けられたクリヨフ基底 $\{|K_n\rangle\}$ と、それに対応するヤコビ・チェインが得られる。根本的な問いは、ハミルトニアン $H$ が固定されている場合に、初期状態が同一の巡回部分空間内にある新しいシード $|\psi\rangle$ に変更されたとき、結果として得られるクリヨフ力学は元のランチョス問題から回収可能なのか、それとも構成全体をやり直さなければならないのか、という点である。

二つの部分空間の正規直交基底はユニタリ変換によって関連付けられるが、特定のクリヨフの順序付けは、シードの $H$ による軌道に固有のものであり、一般的な基底変換によって保存されるわけではない。したがって、参照クリヨフ・スパン内の状態であっても、再直交化が必要となるのが一般的である。本論文では、特定のクラスの「多項式初期状態ジャンプ」、すなわち新しいシードが参照シードに対するハミルトニアンの多項式関数 $|\psi_Q\rangle \propto Q(H)|K_0\rangle$ である場合における「固定-$H$」問題に取り組む。

手法
著者らは、参照データを再計算することなく、多項式的に修正されたシードの力学を事前計算された参照データへと写像する、厳密な相対的計算法を開発した。この手法は、問題のスペクトル表現に基づいている：

1. クリストッフェル再重み付け： シードを $|K_0\rangle$ から $Q(H)|K_0\rangle$ へ変更することは、スカラー・スペクトル測度 $d\mu(E)$ を新しい測度 $d\nu_Q(E) = |Q(E)|^2 d\mu(E) / N_Q$ へと正の修正を行うことに対応する。これは、参照測度のクリストッフェル変換として特定される。
2. 有限バンド転送： 著者らは、参照単項多項式 $P_n$ とシフトされた多項式 $R^{[Q]}_n$ を結びつける厳密な関係式を導出した。直交性の制約により、積 $W_Q(E)R^{[Q]}_n(E)$ （ここで $W_Q = |Q|^2/N_Q$）は、参照多項式 $P_m$ の有限のウィンドウ $n \le m \le n + \deg(W_Q)$ へと展開される。
   • これにより、参照フーリエ・直交多項式モーメント $I_m(t)$ からシフトされたクリヨフ振幅 $\tilde{\phi}^{[Q]}_n(t)$ を直接写像するコネクター係数 $\Gamma^{[Q]}_{n,m}$ が得られる。
   • シフトされたヤコビ係数 ($\tilde{a}_n, \tilde{b}_n$) は、これらのコネクターから代数的に回収される。
3. 複雑性のための射影カーネル： すべてのクリヨフ・レベルの総和を必要とするスプレッド複雑性 $K_Q(t)$ を計算するために、著者らはクリストッフェル・ダルブー・カーネルの有限ランク射影を利用する。すべてのシフトされたクリヨフ・ベクトルを構築する代わりに、累積確率 $\Phi^{[Q]}_\ell(t)$ は、多項式 $Q$ の可除性の制約によって定義される部分空間への参照進化の射影によって得られる。
4. 有限次元および特異性の処理： 本フレームワークは以下を明示的に扱う：
   • 終端閉鎖（Terminal Closure）： 有限次元系において、多項式の積は終端多項式 $T_d$ を法として簡約される。
   • サポートの喪失： $Q$ がスペクトルの原子でゼロになる場合、それらの原子は測度から除去され、巡回次元が減少する。形式論は、偽のサイトを導入することなく、これらを扱うために商代数と「適切なリフト」を使用する。
   • 複素重ね合わせ： 本手法は、$Q$ における複素係数および合流的な根（重根）を許容する。

主要な貢献と結果

• 厳密な相対力学： 本論文は、任意の多項式シード $Q(H)|K_0\rangle$ に対して、シフトされたクリヨフ振幅とスプレッド複雑性が、参照のヤコビ・データ（再帰係数、ノルム、およびモーメント）と多項式 $Q$ によって完全に決定されることを確立している。フル・ヒルベルト空間における新しいランチョス再帰は不要である。
• 有限バンド・コネクター： 中心的な結果である有限バンド転送公式（式 1.5 および 3.2）は、シフトされた振幅を、有限個の参照モーメントの線形結合として表現する。このウィンドウの幅は、シード多項式の次数によって固定される。
• 複雑性の境界と有限性：
  • ハイゼンベルク・ワイル／チャリエ（無限離散スペクトル）の場合、著者らは、ジャンプがスペクトルの原子を削除する場合（共鳴削除）であっても、固定次数の数状態ジャンプに対してスプレッド複雑性が有限であり続けることを証明している。
  • 真空下界が確立されている：数状態ジャンプに対して $K_r(\tau) \ge K_0(\tau)$ であり、$r \ge 1$ に対しては厳密な不等号が成立する。
• 可解な連鎖への適用： 本形式論は、以下の3つの典型的な可解なファミリーに適用され、閉じた形式の結果を提供している：
  • チャリエ（ハイゼンベルク・ワイル）： 任意の数状態ジャンプに対する根のない剰余計算と、大きな指数の漸近挙動を示す。
  • クラウチク（SU(2)）： 有限スペクトル支持、終端閉鎖、および積・グラム因子分解を用いたサポート喪失を扱う。ウェイト状態 $r$ と $N-r$ の複雑性の間のワイル反射対称性が示されている。
  • チェビシェフ（タイトバインディング）： 多項式ジャンプを、初期に占有される格子サイトの変化として解釈し、サイン変換格子力学を回収する。
• 行列値親測度： 著者らは、有限個のシードに対するスカラー構成を一般化している。すべてのシードのスペクトル干渉を符号化する行列値親測度 $dM(E)$ が導入される。この行列のランク1圧縮は純粋状態のスカラ測度を回収し、トレース縮退は混合状態のエネルギー測度を回収する。これにより、準備依存性と、生成器またはヒルベルト空間の次元の変化を分離している。
• リウヴィル空間への拡張： 本論文は、この構成が演算子シード（$Q(\mathcal{L})\mathcal{O}$）に対しても拡張可能であることを述べている。ここでは、スペクトル変数はエネルギーではなくエネルギーギャップであり、これにより混合状態の力学や熱的再重み付けの研究が可能になる。

意義と主張
本論文は、ハミルトニアンが固定されている条件下で、初期状態が多項式的に関連している場合、異なる初期状態間のクリヨフ複雑性を比較するための、完全、厳密、かつ非摂動的な解を提供すると主張している。

• 変数の分離： この構成は、初期状態への依存性（準備）と、ハミルトニアン（生成器）およびヒルベルト空間の次元との依存性を厳密に分離している。これにより、「初期状態依存性」を独立した動的な特徴として研究することが可能になる。
• 計算効率： 参照データ（モーメントおよび再帰係数）を再利用することで、本手法は、新しいシードごとにランチョス計算を再実行する計算コストを回避できる。これは、ランチョス計算が高価な多体系において特に価値が高い。
• 理論的統一： 本研究は、ヤコビ演算子のスペクトル理論、クリストッフェル変換、および直交多項式を、現代的なクリヨフ複雑性の枠組みと統一している。これは、シードの変化によるクリヨフ基底の「非線形」な再編成が、クリストッフェル再重み付けを介した「厳密な相対的記述」を持つことを示している。
• 範囲： 著者らは、転送公式は任意の有限次数に対して厳密であるが、「近傍」のジャンプの物理的解釈は固定低次数レジームに依存することを強調している。本フレームワークは、参照ヤコビ・データが既知である一般的なハミルトニアンに適用可能であるが、閉じた形式の例は可解な連鎖から抽出されている。

結論として、本論文は、この相対的計算法が、ダイナミクスやシステムサイズの変化とは異なる、量子複雑性の初期状態準備に対する感度を分析するための堅牢なツールを提供することを述べている。