Coulomb and nuclear polarization of the nucleon density in the dinuclear configuration of the $^{40}$Ca + $^{208}$Pb system

技術要約：$^{40}\text{Ca} + ^{208}\text{Pb}$ 二核系におけるクーロンおよび核的な分極

問題提起
重イオン反応の入口チャネルの理論的記述、特に二核系（DNS）アプローチにおいては、衝突する原子核の密度は通常、その基底状態の構成において「凍結」されたものとして扱われる。この近似は、原子核間相互作用ポテンシャルや駆動力ポテンシャルの構築を簡略化する一方で、一方の原子核の静的な外部場によって誘起される、もう一方の原子核の微視的な分極を無視している。TDHF（時間依存平均場法）などの従来の完全な動的手法は、この分極を組み込んでいるが、結合系のポテンシャルを算出するものであり、単独のパートナーの密度応答を分離して抽出するものではない。また、線形応答の研究では、DNS計算で使用されるものと同じ有効相互作用を用いて構築された核的な外部場が欠落していることが多い。本研究は、一中心記述の妥当性の限界を定量化しつつ、一方の原子核の静的な場のなかでの誘起された密度変化 $\delta\rho(r; R)$ を、クーロン成分と核成分に分離して明示的に計算することで、この空白を埋めるものである。

手法
本研究では、両者が二重魔法数かつ球形であるため、観測される変形が純粋に誘起されたものであることを保証する $^{40}\text{Ca} + ^{208}\text{Pb}$ 系に焦点を当てる。計算は、変形したウッド・サクソン（Woods–Saxon）平均場を用いて行われる。

1. ハミルトニアンと基底: 単一粒子問題は、円筒形調和振動子基底を用いてハミルトニアン $\hat{h} = \hat{h}_0 + U_{\text{ext}}(r; R)$ を対角化することによって解かれる。非摂動のハミルトニアン $\hat{h}_0$ には、軸対称のウッド・サクソン・ポテンシャル、スピン軌道項、および孤立した原子核のクーロンポテンシャルが含まれる。
2. 外部場 ($U_{\text{ext}}$): パートナー原子核の外部場は、以下の2つの部分で構成される。
   • クーロン: 一様帯電球体と仮定して計算される。
   • 核的: ミガル（Migdal）密度依存有効核子間相互作用の二重折り込み（double folding）によって得られる。極めて重要な点として、これはDNSアプローチにおいて原子核間ポテンシャルを構築するために用いられるものと全く同じ形式およびパラメータの相互作用を使用しており、一貫性を確保している。
3. 処理スキーム: 高次項の重要性を評価するために、2つの手法を比較する。
   • 非摂動的（自己整合的）: 完全なハミルトニアンを含む全オーダーの対角化を行う。
   • 線形応答（一次）: 一次の摂動論を用いて密度変化を計算する。
4. 妥当性基準: 一中心記述（一方の原子核を、他方の固定された場の中にあるものとして扱う手法）が物理的に意味を持つ分離距離 $R$ の範囲について、定量的な基準を確立する。これには、外部場が核子をパートナーのポテンシャル井戸に束縛するほど強くなく、単一粒子状態の非局在化を引き起こさないことが条件となる。

主な結果
計算は、中心間距離 $R = 15.5$–$20$ fm において行われた。

• 分極の性質: 誘起された密度変化は、原子核の表面領域に局在している。分極は斥力的なクーロン潮汐場によって支配されており、核間軸方向に密度を圧縮し、負の（扁平な）誘起四重極モーメント（$\Delta Q_{20}$）をもたらす。引力的な核的場は逆の作用（伸長を促進）をするが、ミガル力の短距離性質により、大きな分離距離では無視できる。
• 距離依存性:
  • $\Delta Q_{20}$ に対するクーロン成分は、期待される $R^{-3}$ の潮汐則に従う。
  • 核的成分は、表面が接近するにつれて指数関数的に増大し、小さな分離距離でのみ顕著になる。$R=15.5$ fm において、核的成分はクーロン値の約3分の1に達し、扁平な変形を部分的に打ち消す。
  • 全誘起四重極モーメントは、核的な引力がクーロン圧縮を打ち消し始める前に減少するものの、$^{208}\text{Pb}$ では $R \approx 17$ fm 付近、$^{40}\text{Ca}$ では $R \approx 16\text{--}17$ fm 付近で大きさが最大となる。
• 変形パラメータ: 誘起された四重極変形パラメータ（$\Delta \beta_2$）は非常に小さく、$10^{-3}$ のオーダーである。絶対的な誘起モーメントは $^{208}\text{Pb}$ の方が大きいが、軽いパートナーである $^{40}\text{Ca}$ の方が、そのサイズの小ささと強い電場を受けることにより、相対的な観点ではより強く分極している（$\Delta \beta_2$ は $^{208}\text{Pb}$ の約2倍である）。
• 分極エネルギー: 分極エネルギーは双極子量であり、四重極変形による寄与はわずか数パーセントである。エネルギーは負（引力的）であり、$R=15.5$ fm において $^{208}\text{Pb}$ で約 $-0.61$ MeV、$^{40}\text{Ca}$ で $-0.89$ MeV に達する。
• 線形性: 重い原子核（$^{208}\text{Pb}$）の応答は、$R=17$ fm までは本質的に線形である（10%以内）。軽い原子核（$^{40}\text{Ca}$）の応答は、重いパートナーによる強い場のため、大きな分離距離においても顕著な飽和（線形からの偏差は約45%）を示す。

妥当性の限界
一中心記述は、二つの単一粒子井戸の間の障壁が消失し、核子がパートナーへ移動することを許容するようになる時、すなわち $R \lesssim 15.3$ fm で崩壊する。この距離以下では、計算は基底サイズに依存するようになり（変分崩壊）、単一の原子核の密度という概念が意味をなさなくなる。接触配置（$R \approx 12.1$ fm）はこの一中心アプローチでは到達不可能である。

意義および結論
本論文は、球形のパートナー同士において、一中心記述が妥当な分離距離（$R > 15.3$ fm）では、DNSアプローチにおける相対運動の方程式における密度分極の無視が正当化されることを確立している。誘起された四重極変形は、静的な変形パラメータの不確かさよりも小さく、径方向の力の変化も数パーセントに過ぎない。

しかしながら、本研究は、分極エネルギーの大部分を占める双極子成分の応答が、標準的なDNSモデルには欠落していることを強調している。この一中心法では、クーロン障壁付近でのこの効果の大きさを定量化することはできない（それは有効範囲の外にあるため）が、$R \approx 15.5$ fm での計算スケール（数百keV）は、分極が追加的な引力として作用し、ポテンシャルを急峻にし、障壁を低下させることを示唆している。著者らは、球形原子核については、これらの分離距離において凍結密度近似は適切であるが、今後は、誘起された変形が静的な不確かさと同程度になり、運動方程式への明示的な組み込みが必要となるような、静的に変形した原子核や障壁に近い分離距離の問題に対処しなければならないと結論付けている。