Semicircular law with a few independent entries in a random matrix

技術的要約：少数の独立な成分を持つランダム行列における半円則

問題提起
ランダム行列理論において、ウィグナー行列とその他の「パターン化された」行列（Toeplitz行列、Hankel行列、対称巡回行列、および逆巡回行列など）の間には、伝統的に明確な区別がなされてきた。$O(n^2)$ 個の独立な確率変数から構成されるウィグナー行列は、その極限スペクトル分布が半円則に収束することが知られている。対照的に、わずか $O(n)$ 個の独立な確率変数に依存するパターン化された行列は、通常、非有界なサポートを持つ極限スペクトル分布を示す。

本研究を動機付けた中心的な問い（もともとArup Bose教授によって提起されたもの）は、極限スペクトル分布のサポートが非有界であることは、$O(n)$ 個という少ない独立な成分を持つことの直接的な帰結なのか、それともToeplitz行列やHankel行列に見られるような、反復的な構造（例：対角線や逆対角線に沿って変数が繰り返されること）に特有の現象なのか、という点である。著者らは、$O(n)$ 個の独立な確率変数のみを用いながらも、なお半円則へと収束するようなランダム行列を構築することが可能かどうかを調査している。

手法およびモデルの構成
著者らは、従来のパターン化された行列に見られる反復構造を打破しつつ、$O(n)$ 個の独立な確率変数を利用するように設計された新しいランダム行列モデル $X_n$ を提案している。

1. 基礎となる変数: $\xi_1, \dots, \xi_n$ を、平均0、分散1、およびすべての次数の有限モーメントを持つ $n$ 個の独立な確率変数とする。
2. 置換メカニズム: $S_n$ を $[n]$ 上の全単射（置換）の集合とする。著者らは、$n$ 個の独立かつ同一分布（i.i.d.）に従うランダムな置換 $\Phi_1, \dots, \Phi_n$ を導入する。これらはそれぞれ $S_n$ から一様にサンプリングされる。
3. 行列成分の定義: 中間行列 $Y$ の成分は、基礎となる変数を置換することによって定義される：$Y_{ij} = \xi_{\Phi_i(j)}$。
4. 対称化: 最終的な $n \times n$ 対称ランダム行列 $X_n$ は、次のように構成される：
   $$X_{ij} = \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_{ij} + Y_{ji}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi_{\Phi_i(j)} + \xi_{\Phi_j(i)})$$
5. スケーリング: スペクトルを解析するために、行列を $\sqrt{n}$ で再スケーリングして $\tilde{X}_n = \frac{1}{\sqrt{n}}X_n$ を形成する。

著者らは、$X_n$ の成分が中心化されていることを検証し、その共分散を計算している。特筆すべき点として、対角成分の分散は約2であり、非対角成分の分散は約 $1 + 1/n$ である。行列の二乗のトレースは、標準的な半円則に必要な正規化と一致するように、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \mathbb{E}[\text{Tr}(X_n^2)] = 1$ となるようにスケールされている。

主要な結果
主要な結果である定理 4.1は、基礎となる変数 $\xi_i$ がすべての次数の有限モーメントを持つ場合、$\tilde{X}_n$ の経験スペクトル分布（ESD）が標準的な半円則に弱確率で収束することを確立している。

• 収束指標: 収束は、弱収束のトポロジーをメトリス化する有界リプシッツ距離（$d_{BL}$）を用いて測定される。
• 条件付き収束（系 4.1）: 著者らはさらに、この収束が「ほとんどの」置換の実現に対して条件付きで成立することを示している。具体的には、任意の $\epsilon, \delta, \eta > 0$ に対して、置換の列の集合 $A_n \subseteq S_n^{\otimes n}$ が測度 $(1-\eta)(n!)^n$ より大きいものが存在し、置換が $A_n$ に属するという条件の下で、ESDと半円則との距離が確率 $1-\delta$ 以上で $\epsilon$ 未満となる。

証明戦略
証明はモーメント法に基づいており、具体的には[WHW16]の先行研究の定理5を援用している。著者らは、行列成分のモーメントについて以下の2つの条件を検証する必要がある：

1. モーメントの境界: 異なるインデックスに対して、行列成分の積の期待値は $C_{pq} n^{-p/2}$ によって抑えられる。これは、インデックスの置換が「マッチした」分割（すべての要素が少なくとも2回現れる分割）を形成する確率を分析することによって達成される。置換のランダム性により、このようなマッチが発生する確率は $n \to \infty$ において十分に速く減衰する。
2. モーメントの極限: 二乗成分の積の期待値が1に収束すること。著者らは、「衝突」（異なるインデックスが同じ基礎変数に写されること）の確率が $O(1/n)$ であり、これが極限において消失することを示し、残りの支配的な項が要求される値に収束することを示した。

意義および主張
本論文は、$O(n)$ 個の独立な成分を持つことが、半円則の出現を本質的に妨げるのかという問いに対する回答を提示している。著者らは、Toeplitz行列やHankel行列で見られる非有界なサポートは、$O(n)$ 個という独立な変数の少なさに起因するのではなく、むしろそれらの行列に内在する反復的なパターン（同じ確率変数が平行な対角線上に現れること）の結果であると結論付けている。

ランダムな置換を用いることで、これらの反復構造を破壊しつつ $O(n)$ 個の独立な変数の数を維持することにより、著者らは経験スペクトル分布を半円則に任意に近づけることができることを示した。この知見は、「独立な成分が少ない」という制約が半円則への障壁となる根本的な要因ではなく、むしろ反復の特定の代数的な構造こそが決定的な要因であることを示唆している。

経験的検証
理論的な結果は、標準正規分布に従う変数を用いて $n=2000$ の行列 $\tilde{X}_n$ を生成したシミュレーション（セクション5）によって裏付けられている。固有値のヒストグラムの結果は標準的な半円則の密度と完全に一致しており、理論的な収束を視覚的に確認している。