Long-range scalar interactions in the effective field theory approach to $0\nu\beta\beta$

技術要約：有効場理論アプローチによる $0\nu\beta\beta$ における長距離スカラー相互作用

問題提起
無ニュートリノ二重ベータ崩壊（$0\nu\beta\beta$）は、標準模型を超える物理、特にニュートリノのマイオラナ性の検証のための極めて重要な低エネルギープローブである。標準的な質量メカニズム（軽質量マイオラナニュートリノ交換）は十分に研究されているが、有効場理論（EFT）の枠組みでは、様々なローレンツ構造を含むモデルに依存しない記述が可能であり、これにはスカラー（$S$）および擬スカラー（$P$）電流が含まれる。これまでの解析では、スカラー寄与を単独で扱ったり、単一結合の極限に焦点を当てたりすることが多かった。包括的な理解には、共通の $(S+P)$ レプトン流に対し、$(S-P)$ または $(S+P)$ のハドロン流が結合する、2つの異なるスカラー相互作用の同時存在を正確に扱う必要がある。課題は、これら2つのスカラーメカニズム間のコヒーレントな干渉、および標準的な質量メカニズムとのそれぞれの干渉を、核的な反跳、電子の偏波（$s_{1/2}$ および $p_{1/2}$）、および結合の複素位相を適切に考慮しながら、正確に計算することにある。

手法
本論文では、軽ニュートリノ交換を含む次元6のハミルトニアンを利用して、$0\nu\beta\beta$ の長距離部分に対するEFTアプローチを採用している。計算は以下のステップで行われる：

1. 定式化と振幅： 著者は、標準的な $V-A$ 質量メカニズムとスカラー項の間の干渉を考慮して、崩壊のS行列要素を導出する。2つのスラー幅の振幅（振幅レベルの結合 $\epsilon_-$（$S-P$ ハドロン流への結合）および $\epsilon_+$（$S+P$ ハドロン流への結合）によって定義される）を同時に保持する。
2. レプトンおよびハドロンの簡約：
   • レプトン： 計算には、クーロン歪みを受けた $s_{1/2}$ および $p_{1/2}$ 電子波が含まれる。カイラル射影子は、質量依存項（標準メカニズム）と運動量依存項（スカラーメカニズム）を区別する。
   • ハドロン： クォーク流は、フォームファクター（$F_S, F_{PS}, g_V, g_A, g_M, g_P$）を用いて核子電流にマッチングされ、非相対論的に展開される。計算では、核子の反跳に関する第1次までの項（単一核子インパルス近似）を保持する。
   • 核構造： 中間核状態を和をとるために閉包近似（closure approximation）を適用し、励起エネルギーを平均閉包エネルギーで置き換える。
3. 演算子の簡約： スカラー振幅は、一連の核行列要素（NME）へと簡約される。著者は、3つの主要な無次元NME比 $\chi'_{SP,F}$（フェルミ型）、$\chi'_{SP,B}$（擬スカラー反跳）、$\chi'_{SP,D}$（ベクトル反跳）を特定する。
4. 崩壊率の計算： 全振幅のスピン和平方を計算する。微分崩壊率は等方的な相関関数を用いて表され、電子の位相空間にわたって積分されることで、逆半減期が導出される。

主な貢献と結果
本研究の主要な貢献は、2つのスカラー相互作用とその相互干渉を同時に考慮した、コンパクトで次元明示的な半減期公式の導出である。

• 干渉項： 導出された逆半減期式には以下が含まれる：
  • 標準的な質量メカニズム項（$|\eta_\nu|^2 C_1$）。
  • 質量メカニズムと各スカラー結合の間の線形干渉項（$|\eta_\nu||\epsilon_\pm| C_{SP}^{2, 2+} \cos \psi_{3,4}$）。
  • 二次スカラー項（$|\epsilon_\pm|^2 C_{SP}^{3, 3+}$）。
  • 極めて重要な点として、2つのスカラーメカニズム間の相互干渉を表す新しい項：$8|\epsilon_-||\epsilon_+| C_{SP}^{+-} \cos \psi_{+-}$（ここで $\psi_{+-}$ は結合の相対的な複素位相である）。
• 明示的な係数： 論文は、NME比（$\chi'_{SP,F}, \chi'_{SP,B}, \chi'_{SP,D}$）および積分された位相空間因子（$G_{SP}^{0k}$）を用いた、干渉係数（$C_{SP}^{2}, C_{SP}^{2+}, C_{SP}^{3}, C_{SP}^{3+}, C_{SP}^{+-}$）の明示的な式を提供している。
• 正値性境界（Positivity Bound）： 純粋なスカラーレートを位相空間因子の行列を含む二次形式として定式化することにより、著者はスカラー・スカラー干渉係数に関する正値性境界 $|C_{SP}^{+-}|^2 \leq C_{SP}^{3} C_{SP}^{3+}$ を導出している。これは、形式の内部一貫性のチェックとして機能する。
• 一貫性チェック： 導出された公式は、$\epsilon_+$ または $\epsilon_-$ のいずれかをゼロとしたとき、先行文献（Refs. [7, 8]）で見られる修正された単一結合スカラー $P$ 波の結果を正しく再現する。

意義と主張
本論文は、$0\nu\beta\beta$ における2つのスカラー相互作用の相関解析のための一貫した基礎を提供すると主張している。両方のスカラーメカニズムをコヒーレントに保持し、相互干渉項を明示的に導出することで、本研究は、これらの項を個別に扱っていた従来の処理における空白を埋めている。

著者は、以下の点で自らの定式化を強調している：

1. 修正と拡張： 両方のスカラー結合の同時存在とそれらの相対位相依存性を包含することで、先行するスカラー $P$ 波の結果を検証し、拡張している。
2. 相関拘束の実現： 相対位相への明示的な依存性と導出された正値性境界により、実験データを解析する際に有効な結合に対してより厳密な制約が可能となり、非物理的なパラメータの組み合わせを防ぐことができる。
3. 将来の研究への基礎： この次元明示的な定式化は、数値実装（$\nu$DoBeパッケージなど）や、パイ中間子交換および短距離演算子を組み込む可能性のある将来のカイラルEFT解析のための基礎となることを意図している。

本論文は、その範囲を厳密に、EFTの枠組み内における長距離スカラー振幅とその干渉の解析的導出に限定しており、新しい実験装置を提案したり、$0\nu\beta\beta$ メカニズムの即時的な解決を主張したりするものではない。