The suppression thesis in Riemann's Habilitationsvortrag

19世紀半ば、数学は静かながらも深遠な変革の渦中にあった。それは、平坦で予測可能な空間という厳格な規則から、より柔軟な宇宙の理解へと向かう動きであった。この変化の中核にあったのは、形と距離に関する新しい考え方であった。平面的な紙とは異なる方法で曲がり、伸び、あるいはねじれることができる曲面を想像してみてほしい。数学者たちは、周囲のより大きな空間に依存することなく、そのような曲面上の距離や角度をどのように測定できるかを問い始めた。この概念は、後に現代幾何学と重力の理解の基礎となるものとなるが、そのためには新しい語彙と、空間そのものがどのように振る舞うかを描写する新しい方法が必要であった。それは、「空間」や「曲率」という概念そのものが再発明されていた時代であり、単純な二次元の図形から、当時の標準的な数学的道具では容易に捉えきれない複雑な多次元の現実へと移行していたのである。

1854年、ベルンハルト・リーマンという名の若きドイツ人数学者が、科学の進む道を永遠に変えることになる講義を行うべく、ゲッティンゲン大学の哲学部の前に立った。彼の演題である「幾何学の基礎に横たわる仮説について」は、曲がった多次元空間という革命的な概念を導入したものである。しかし、その発表には奇妙な謎がつきまとっていた。数学の講義であるにもかかわらず、そこには複雑な計算や詳細な代数的な証明がほとんど含まれていなかったのである。この技術的な詳細の欠如に対する、一世紀以上にわたる標準的な説明は、「抑制説（suppression thesis）」として知られている。この長年の定説によれば、リーマンはパネルに座る非数学者の教授たちにも理解できるように、意図的に数学的な仕組みを削ぎ落としたという。彼は、高度な方程式を理解できない聴衆への敬意から、明快さを求めて自身の仕事を簡略化したのだという物語であり、その決定によって厳密さが犠牲になったとされるのである。

しかし、歴史的記録の新たな検証は、世代を超えて繰り返されてきたこの馴染み深い物語に異議を唱えている。当該論文の著者であるヴィクトル・タピアは、何世代にもわたって繰り返されてきた物語の中に、決定的な矛盾があることを指摘している。この有名な幾何学の講義の3年前、リーマンは全く同じ教授グループに対して別の論文を発表していた。複素関数を扱ったその初期の発表は、濃密な数学的展開と分析的な詳細に満ちていた。もし教授たちが、抑制説が示唆するように高度な数学を理解できない人々であったとするならば、リーマンは最初からその以前の講義においても簡略化していなければならなかったはずである。しかし、彼はそうはしなかった。彼は、わずか3年前に同じ聴衆に対して複雑でテクニカルな数学を発表している。この事実は、彼らが高度な数学を理解できなかったことが、後の講義における方程式の欠如の理由であったという主張を覆している。彼が聴衆を混乱させないために真の仕事を控えたという考えは、この分析によれば、事実ではなく反復によって生まれた神話である。

では、もし彼が聴衆のために話を簡略化したのではないとするならば、なぜ彼の他の仕事とはこれほどまでに異なっていたのだろうか。論文は、その理由はアイデアそのものの性質にあると論じている。リーマンは単に既存の数学を新しい問題に適用していたのではなく、名前も確立された言語も持たない、全く新しい概念を創造していたのである。彼は、任意の数の次元を持ち、複雑に伸びたり曲がったりすることができる空間を記述する方法である「多様体（manifold）」という概念を導入した。また、古い、硬直した平坦な幾何学の規則に依存せずに、微小な距離を測定する方法である「線素（line element）」を定義した。さらに、彼は二次元を超える空間における「曲率」をも再定義した。これらの概念はあまりに新しかったため、それらを厳密かつ方程式を多用して記述するために必要な数学的道具や技術的な言語は、まだ存在していなかったのである。

リーマンが記述的で非テクニカルなスタイルを採用せざるを得なかったのは、聴衆を困惑させることを恐れたからではなく、彼がこれらのアイデアを初めて言葉にした人物だったからである。n次元の曲がった空間を表現するための既存の語彙はなく、そのような空間の曲率を計算するための標準的な公式も存在しなかった。彼は、これまで一度も地図に描かれたことのない風景へと聴衆を導くために、言葉と論理的な記述を用いて、自ら言葉を構築しながら進まなければならなかった。方程式の欠如は、困難を抑制しようとした選択ではなく、イノベーションから生まれた必然であった。彼は、記述のための道具がまだ鍛造されていない現実を記述していたのである。

論文は、抑制説はリーマンの初期の仕事という歴史的証拠を無視した、成立し得ない説明であると結論づけている。この講義の独特なスタイルの真の理由は、リーマンが人類の知識のまさに最前線に立ち、古い規則がもはや通用せず、新しい規則がまだ書かれていない領域へと押し進んでいたことにあった。彼の講義は、確立された数学的記法という杖なしに、深遠で抽象的な真理を伝えなければならなかったという点において、卓越した解説の傑作であった。彼の講義の物語は、単純な聴衆のために自己検閲を行った物語ではない。それは、アイデアの荒野の中に新たな道を切り開き、宇宙の形を記述するために必要な言語そのものを創り出した、輝かしい精神の物語なのである。