Goodness-of-fit for multi-distribution neutrino cross-section measurements with shared events

技術要約：共有イベントを伴うマルチディストリビューション・ニュートリノ断面積測定における適合度検定

問題提起
現代のニュートリノ断面積解析では、単一の共通イベントサンプルから複数の微分ディストリビューションを抽出することがますます一般的になっている（例：MicroBooNEによる、陽子を含む最終状態と含まない最終状態の測定、あるいは多微分QE様断面積など）。このような解析においては、同一の物理イベントが複数の報告されたディストリビューションに同時に寄与する。この「イベント共有（event-sharing）」構造は、異なるディストリビューション間のビンカウントの間に厳密な線形制約を課す。例えば、選択されたすべてのイベントが各ディストリビューションにおいて正確に一つのビンを占める場合、ディストリビューション全体にわたる総イベント数は同一でなければならない。

これらの制約により、測定の有効次元数は全ビン数よりも減少する。その結果、統計的共分散行列（$C_{stat}$）はランク欠損（rank deficiency）を生じ、分散が厳密にゼロとなる零空間（null space）を持つことになる。数値的な精度制限によって共分散行列が完全に特異にならず（逆行列の計算は可能）、系統誤差がこれらの零方向の分散をわずかに「持ち上げる」ことはあるものの、標準的なグローバル適合度検定（$\chi^2$ など）は失敗する。フォワードフォールディングされた予測値がデータと比較される際、これらの制約された方向における微小な残差が、ゼロに近い分散で除算される。これにより、$\chi^2$ 統計量に任意に大きな、非物理的な寄与が生じ、総和が膨張し、正しいモデルを誤って棄却することにつながる。さらに、ランク欠損を無視することは、不正確な自由度の設定を招く。

手法
著者らは、独立した統計情報を持つ部分空間に適合度検定を限定するように設計された「範囲投影 $\chi^2$（range-projected $\chi^2$）」テスト統計量を提案する。手法のプロセスは以下の通りである：

1. 制約の特定: 著者らは「結合行列（combination matrix, $\Omega$）」を用いて制約を定式化する。$\Omega$ の各行は、すべてのディストリビューションにおける各イベントがどのビンを占めるかを示す一意のインジケーターベクトルを表す。$\Omega$ のランクは、測定空間における独立な方向の数を決定する。零方向の数は $N_{null} = N_{bins} - \text{rank}(\Omega)$ と定義される。
2. 零空間の分解: 著者らは $N_{null}$ を以下の2つの成分に分解する：
   • 構造的零空間 ($N_{null}^{struct}$): ビン配置（ビンエッジ）の幾何学的形状およびブロックのトポロジーによって、事前に決定されるもの（特定のイベントサンプルには依存しない）。
   • 運動学的零空間 ($N_{null}^{kinem}$): 位相空間の占有状況（例：断面積の抑制や検出器の受容性により、幾何学的には許容されているが物理的に空である位相空間領域）に由来するもの。これはモンテカルロのイベント・ビン・マッピングから決定される。
3. 射影器の構築: 著者らは、零空間に直交する部分空間（共分散のレンジ）への直交射影器（$P_{reco}$）を構築する。これは $\Omega^T\Omega$ の固有値分解を通じて達成され、非ゼロの固有値（物理的な方向）とゼロの固有値（制約された方向）を分離する。
4. テスト統計量の定義: 再構成空間における範囲投影 $\chi^2$ は次のように定義される：
   $$\chi^2_{proj} = \delta^T (P_{reco} C_{total} P_{reco})^+ \delta$$
   ここで $\delta$ は残差ベクトル、$C_{total}$ は全共分散行列、$(\cdot)^+$ はムーア・ペンローズの疑似逆行列を表す。実用的には、これは非零の固有ベクトルによって張られる $r = N_{bins} - N_{null}$ 次元の問題に帰着させることで計算され、フル行列の疑似逆行列を計算する必要を回避している。

主な貢献
本論文は主に2つの貢献を行っている：

1. 理論的洞察: 共分散行列におけるランク欠陥は、単なる数値的なアーティファクトではなく、共有イベントによる測定設計の予見可能な構造的帰結であることを示している。制約された方向は、イベント保存によって固定されるビン間の線形結合に対応しており、データはその方向に関する統計的な力を持っていない。
2. 処方的なアルゴリズム: 決定論的に制約された方向の数（$N_{null}$）を事前に算出する方法を提供する。これには、ビンエッジから直接構造的寄与を決定するアルゴリズム（付録A）と、イベントサンプルから運動学的寄与を特定する手順が含まれる。これにより、系統誤差の影響を受けた共分散行列に対して任意の固有値閾値を適用することなく、自由度を正確に決定することが可能となる。

結果
本手法は、2つの異なる研究を通じて検証された：

1. 解析的トイモデル: 3ブロックのビンニングスキーム（計22ビン）を用いたミューオンニュートリノのチャージカレント準弾性散乱のシミュレーションにより、5つの零方向が明らかになった。
   • 非投影 $\chi^2$（22の自由度を使用）は、期待値である22を大きく上回る平均値30.6を示し、5%の有意水準において32.4%という高い誤棄却率を示した。
   • 範囲投影 $\chi^2$（17の自由度を使用）は、平均値17.23を示し、期待される $\chi^2(17)$ 分布と一致し、誤棄却率は5.7%であった。
   • 投影された統計量を用いたパラメータ推定では、真のパラメータ値を正しい頻度論的被覆（coverage）とともに回収できたが、非投影の統計量はバイアスのある結果と深刻なアンダーカバレッジを生じさせた。
2. イベントジェネレータ研究: GENIEおよびNuWroジェネレータを用いた、アンフォールディング（Wiener-SVD）およびマルチソースの系統誤差を含む、現実的なニュートリノ・アルゴン断面積測定のシミュレーション。
   • この研究では、5つの零方向（構造的寄与4、運動学的寄与1）が特定された。
   • 非投影の統計量は、正しいモデル（NuWro）と誤ったモデル（GENIE）の両方を棄却し、判別能力を失わせた。
   • 投影された統計量は、真のモデルを正しく受理し（$\chi^2 = 15.7/16$）、誤ったモデルを強力に棄却し（$\chi^2 = 154.4/16$）、較正能力と判別能力を回復させた。
   • この研究は、投影をアンフォールディング前に行う限り、再構成空間またはアンフォールディング空間のいずれで計算しても、投影された統計量が同一の数値を算出することを確認した。

意義と範囲
本論文は、共有イベントを伴うマルチディストリビューション測定が標準となるにつれ、モデルチューニングやジェネレータ比較のための正しく較正されたグローバル適合度検定が不可欠であると主張している。範囲投影 $\chi^2$ は、公開されている共分散、ビン、および応答行列のみを必要とする軽量かつ事前決定可能な解決策を提供し、既に出版された測定にも適用可能である。

著者らは、本手法が厳密なイベント共有の仮定に基づいていることを注記している。もしディストリビューション間で位相空間の限界、背景減算、または信号定義が異なる場合、制約は近似的なものとなる。そのような場合、零方向には微小ながらも実在する分散が生じる。その際、構造的射影が制約を過剰にカウントしてしまう可能性があり、その場合は、制約を自動的に吸収するビン付き尤度フィットのような代替手法がより適切である。しかし、厳密な共有を前提として設計された測定については、不自然な適合度指標の膨張を避けるための必須の修正として、投影法が提示されている。