virasoro_blocks: Software for the 2d bootstrap

タイトル： virasoro blocks: 2次元ブートストラップのためのソフトウェア
著者： David Poland (イェール大学)

問題提起

数値共形ブートストラップは、交差対称性とユニタリティの制約を半正定値計画問題（SDP）として定式化することに依存している。次元 $d > 2$ では、これらのプログラムに必要な共形ブロックの微分を計算するための汎用ソフトウェアが存在する。しかし、2次元においては、強化された局所共形対称性により、4点関数はヴィラソロ・ブロックへと整理される。Zamolodchikovの再帰関係を用いることで、楕円ノミ $q$ の冪級数としてヴィラソロ・ブロックを効率的に計算できるが、得られる式は交換されるウェイト $h$ に関する有理関数であり、膨大な数のカッツ・ポール（Kac poles）を持つ。

これらのポールの存在は、SDPソルバーにとって重大な障害となる。ノミの展開次数 $N$ が有限であるとき、ポールの数は $N \log N$ のオーダーで増加する。現代のブートストラップ研究で求められる微分次数（$N \gtrsim 60$）では、結果として得られる多項式の次数は数百に達する。さらに、中心電荷が $1 < c < 25$ の場合、ほとんどのカッツ・ポールは複素数であり、自然な順序付けを持たないため、すべてのポールを保持すると基底が不良条件（ill-conditioned）となる。厳密な凸最適化におけるヴィラソロ・ブロックの使用は、これらの計算および数値的安定性の問題により、これまで低い微分次数に限定されていた。

手法

本論文では、数値ブートストラップへの応用を目的として設計された、ヴィラソロ共形ブロックを計算するためのソフトウェアパッケージ virasoro blocks を紹介する。コアとなる手法は、ブロックの表現の複雑さを軽減しつつ高い精度を維持するために、「最適補間（optimal interpolation）」を用いることである。

1. 最適補間: 膨大な数のポールを持つ正確な有理関数を使用する代わりに、本ソフトウェアは「減衰有理形式（damped rational form）」を用いてブロックの微分を近似する：
   $$T^{m,n}_\ell(\Delta) \approx \chi_\ell(\Delta) P^{m,n}_\ell(\Delta)$$
   ここで、$\chi_\ell(\Delta)$ は正のプレファクターと、保持される少数のカッツ・ポールの積を含む。

   • ノード選択: 補間ノードは、プレファクター $\chi_\ell$ から導かれる外部ポテンシャルにおける、対数的な反発を持つ単位電荷の平衡密度に基づいて選択される。この構成は、重み付きルベグ定数を最小化する。
   • ポール選択: 本ソフトウェアは、どのポールを保持するかを選択するために「寄与最適化（contribution optimal）」ルールを採用している。このアルゴリズムは、レジデュー（留数）と物理領域からのポールの距離を考慮して、ポールを削除することによって導入される誤差を反復的に推定する。これにより、多項式項によって吸収可能な効果を持つポールは破棄し、多項式による近似が困難なポールを保持する。
   • 特異性の処理: 特異な中心電荷（最小模型、$c=1$、$c=25$、および有理的な $b^2$）に対しては、特異値の周りでの正確なローラン展開を行い、衝突するカッツ・ポールを統合し、有限の極限を計算することで対処する。

2. 任意精度演算: 実装には、FLINT/Arbによって加速された mpmath を用いたPythonを使用している。高次の有理関数を評価する際に発生する壊滅的な桁落ちを管理するため、任意精度演算で動作する。

3. 計算範囲: 標準的なスフィア・ヴィラソロ・ブロックに加え、以下の計算も行う：

   • グローバルな $SL(2) \times SL(2)$ ブロック
   • $N=1$ 超共形ブロック（ネーヴェー・シュワルツおよびラモン・セクター）
   • トーラス・キャラクターおよびトーラス・ワンポイント・ブロック
   • 固定されたツイストに対するラージスピン・タワー

主な貢献

• ソフトウェア実装: 微分テーブルを半正定値計画法ソルバー（具体的には SDPB）に生成するための、堅牢なオープンソースパッケージ（virasoro blocks）を提供する。
• アルゴリズムの改善: ヴィラソロ・ブートストラップへの最適補間の適用により、多項式の次数を数百から、3Dブートストラップと同等の扱いやすいレベルまで削減しつつ、$10^{-40}$ またはそれ以上の精度を達成した。
• 複素ポールの取り扱い: $1 < c < 25$ において、複素共役なポールのペアを選択・保持する体系的な手法を提供し、結果として得られる基底が良好な条件（well-conditioned）であることを保証する。
• 中心電荷の正則化: 最小模型および $c=1$ における再帰の特異性を、ローラン展開を通じて正確に扱うことで、数値的不安定性なくこれらの理論にブートストラップを適用することを可能にした。

結果

著者は、そのソフトウェアの能力を以下の2つの具体的な応用例で示している：

1. スカラー・ギャップの境界: すべてのヴィラソロ・プライマリーがスカラーである理論を仮定し、スカラー・ギャップ $\Delta_{\text{gap}}$ の境界を計算した。

   • 結果は、$\Delta = (c-1)/16$ によって下限が抑えられ、リウヴィル閾値 $(c-1)/12$ に接近する上限を持つ、許容されるウィンドウを示している。
   • 微分カットオフ $\Lambda$ が増加するにつれ、上限はリウヴィル閾値に接近し、スカラーのみのスペクトルに対してリウヴィル理論が唯一の解であるという予想を支持している。
   • 下限は $(c-1)/16$ と一致しており、これはリウヴィル4点関数のユニタリティに関する解析接続の議論と整合している。

2. モーメント境界: 様々な中心電荷（$c = 8, 4, 2$ および $3/2, 6/5$ などの有理的な値）において、同一スカラーの4点関数における平均交換次元 $\langle \Delta \rangle$ の境界を求めた。

   • 境界は、キンク、スパイク、ディップといった豊かな構造を示している。
   • 多くの既知の2次元CFT（有理理論や $c=1$ 理論を含む）は、これらの許容領域の境界上または付近に位置している。
   • $c \approx 1$ 付近では、退化した外部次元において狭い特徴が現れており、これは $\Lambda \to \infty$ と $c \to 1$ の極限が可換ではないこと、すなわち $c=1$ の直上の理論に対してより強い制約が存在することを示唆している。

意義

本論文は、virasoro blocks が、既存のツールが $d>2$ の研究を民主化したのと同様に、ヴィラソロ対称性を持つ2次元CFTの厳密な数値ブートストラップ研究を広く利用可能にすると主張している。カッツ・ポールという障害を最適補間によって克服することで、本ソフトウェアは、2次元理論のスペクトルやOPE係数に対する高精度な制約を可能にする。結果は、ブートストラップが既知の理論と潜在的な新しい解（特にリウヴィル理論や拡張されたカイラル代数を持つ理論）を効果的に区別できることを示唆している。著者は、本ソフトウェアが、交差方程式とSDPを組み立てる virasoro bootstrap のコンパニオンであり、2次元ブートストラップ調査のための完全なパイプラインを提供すると述べている。