NNLO QCD corrections to direct $J/ψ$ production with open charm at B factories

技術要約：Bファクトリーにおける直接 $J/\psi$ 生成（オープンチャーム伴随）への NNLO QCD 補正

問題提起
電子・陽電子消滅におけるオープンチャーム対（$c\bar{c}$）を伴うチャームクォークonium（$J/\psi$）の生成は、非相対論的QCD（NRQCD）における重いクォークonium生成メカニズムの極めて重要なテストとなる。NLO QCD 補正については10年以上前に確立されており、LO 予測に対して有意な増大（因子 $\sim 1.7\text{--}1.8$）が示されている。しかし、NLO 理論予測と Belle の実験データとの間には、特に生成角分布に関して不一致が残っていた。この大きな NLO 補正は、摂動論的な安定性を検証するために、級数が収束するかどうか、および全断面積、運動量スペクトル、角度分布の微分予測を精緻化するために、次世代の次世代（NNLO）でのテストを必要とした。

手法
著者らは、仮想光子を介した直接カラーシングレット $J/\psi$ 生成（$e^+e^- \to \gamma^* \to J/\psi + c\bar{c} + X$）に関する初の NNLO QCD 計算を実施している。この計算では、質量を持つパルトンに適応させた**入れ子状のソフト・コリニア減算（nested soft-collinear subtraction）**スキームを採用している。

• 理論的枠組み: このプロセスは NRQCD 分離の枠組み内で定義されており、断面積は摂動的な短距離係数と非摂動的なカラーシングレット行列要素 $\langle O_1 \rangle_{J/\psi}$ に分離される。計算には、LO 項に対する $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$ までの寄与が含まれる。
• 減算スキーム: ソフトおよびコリニア放出に由来する赤外（IR）特異性を扱うため、著者らは入れ子状のソフト・コリニア減算を用いている。
  • 実放出（Real Emissions）: 二重実（double-real）チャネルには、2つのグルオン（$gg$）または軽いクォーク対（$q\bar{q}$）が含まれる。重いクォークの質量はオープンチャームに関連するコリニア特異性を制御するが、ソフトおよび軽パルトンのコリニア極限の重複は残る。著者らは、局所的なカウンター項を用いて、ソフト極限を先に引き、その後にコリニア極限を差し引く。
  • 仮想補正（Virtual Corrections）: 二ループ仮想振幅は Kira を用いてマスター積分へと還元され、AMFlow で評価される。仮想項の赤外極は、実放出セクターから導出された積分済みカウンター項と解析的に相殺される。
  • 位相空間: 実項とそのカウンター項の間で測定された $J/\psi$ の運動量が固定されるようにマッピングが構築されており、微分情報を保持している。
• 数値実装: 計算は $\sqrt{s} = 10.6$ GeV、チャーム質量 $m_c = 1.5$ GeV で行われている。繰り込みスケール $\mu_R$ は $m_c$ と $4m_c$ の間で変化させる。著者らは、二ループの積分による簡約化（IBP reduction）を簡略化するために、$\sqrt{s}=10.6$ GeV での計算結果を $\sqrt{s}=10.5$ GeV で計算された結果を用いて近似しており、この手法は NLO ベンチマークによって検証されている。

主要な貢献

1. 初の NNOL 計算: 本研究は、カラーシングレットチャネルにおける包括的プロセス $e^+e^- \to J/\psi + c\bar{c} + X$ に関する初の NNLO QCD 予測を提示している。
2. 質量を持つ減算の実装: 著者らは、質量を持つ彩色粒子を含む三体 Born 終状態を持つプロセスに対して、入れ子状のソフト・コリニア減算法を適用することに成功し、異なる終状態多重度間での IR 極の相殺を実証した。
3. 微分予測: 全断面積に加えて、生成角分布および運動量スペクトルの予測、およびそれらのスケール不確かさを提供している。
4. 質量外挿とフィードダウン: 計算が $m_c=1.5$ GeV であることを踏まえ、NLO の質量依存性比を用いて $m_c=1.4$ GeV への影響を推定している。また、Belle の包括的プロンプト・チャーム伴随データと比較するために、推定された $\psi(2S)$ フィードダウン寄与を組み込んでいる。

結果

• 全断面積: 中央スケール $\mu_R = 2m_c$ において、近似的な NNLO 断面積は 0.324 pb（スケール不確かさ $^{+0.041}_{-0.066}$ pb）である。これは NLO 結果に対して 18.4% の増加を表している。
• 摂動論的収束: 相対的なスケール変動は、NLO（$^{+48.9\%}_{-29.3\%}$）から NNLO（$^{+12.7\%}_{-20.3\%}$）へと大幅に減少している。NNLO 補正は NLO 補正の半分以下であり、良好な摂動論的収束を示している。
• 質量およびフィードダウン効果: $m_c = 1.4$ GeV への外挿および推定された $\psi(2S)$ フィードダウン（直接レートの 29%）を加えると、予測されるレートは $\mu_R=3$ GeV で約 0.59 pb、あるいは $\mu_R=1.65$ GeV で 0.66 pb となる。これにより、理論的なレートは Belle が測定したプロンプト・チャーム伴随断面積 $0.74 \pm 0.08 \text{ (stat.)} ^{+0.09}_{-0.08} \text{ (syst.)}$ pb に近づく。
• 運動量分布: NNLO 補正はピーク付近の絶対運動量スペクトルを押し上げ、NLO と比較して Belle のプロンプト・オープンチャーム・データとの一致を改善させている。しかし、予測される形状は依然として観測されたものよりも高い運動量を持つ $J/\psi$ メソンの割合が多く、これは未モデル化のフィードダウンの運動力学に起因すると考えられる。
• 角度分布: NNLO 補正は角度係数 $\alpha_\theta$ を 0.505 (NLO) から 0.554 (NNLO) へと増加させ、前方および後方への生成を強化する。これにより、中央生成を支持する Belle の測定値 ($\alpha_\theta = -0.26$) から予測がさらに遠ざかる。$\alpha_\theta$ のスケール不確かさは NNLO で増加している。

意義と主張
本論文は、NNLO 計算が全断面積に対して良好な摂動論的収束を示し、NLO と比較してスケール依存性が減少することを主張している。著者らは、運動量スペクトルの予測は NNLO 補正によって改善されるものの、角度形状の不一致は依然として存在し、NNLO において悪化することを述べている。

著者らは、この角度形状の差異は、直接的なオープンチャーム生成をフィードダウンや二重チャームonium 寄与から分離できるBelle II でのより精密な測定を動機付けるものであると結論づけている。彼らは現在のデータとの角度の不一致を解消するとは主張しておらず、むしろ NRQCD カラーシングレットメカニズムをこの次数の精度で完全にテストするために、特定の成分の微分測定が必要であることを強調している。本研究は、$e^+e^-$ 衝突におけるクォークonium生成の将来的な現象論的研究のためのベースラインを確立するものである。