A mechanical model of multicellular remodelling in epithelial monolayers

技術要約：上皮単層における多細胞再構築の機械的モデル

問題提起
多くの哺乳類の器官の基礎となる上皮単層は、外部の力に対して複雑な機械的応答を示す。実験的証拠（Harris et al. [6] など）は、これらの組織が複数のタイムスケールにわたって変形に応答することを示している。すなわち、速い弾性応答（数秒）に続き、より遅い緩和またはクリープ（分から数時間）が生じる。既存の数学的モデルは、細胞の増殖や再配置を導入することなく、この挙動を再現することに苦慮している（これらは短いタイムスケールにおいては無視できるものである）。

• 連続体モデル（例：標準線形固体モデル）は、通常、単一の特徴的なタイムスケールを仮定する。
• 複雑な粘弾性モデル（例：複数のマックスウェル要素）は、複数のタイムスケールを生み出すことができるが、多くの場合現象論的であり、パラメータを特定の細胞内メカニズムに結びつけることが困難である。
• 細胞ベースモデル（例：バーテックス・ダイナミクス、オーバーラップ球モデル）は、一般に固定された相互作用則に依存する。増殖や再配置が無視される場合、これらも単一のタイムスケール応答を示す傾向がある。サブセルラー・エレメント（SE）モデルは、内部の再編成を通じてマルチタイムスケールの挙動を捉えることができるが、その高い計算コストのため、非常に小さなシステム（10細胞未満）に限定されており、組織スケールのシミュレーションには実用的ではない。

手法
著者らは、オフ格子（off-lattice）の細胞中心モデルに対する新しい拡張、具体的にはボロノイ・テセレーション（VT）フレームワークを利用した手法を提案している。核心となる革新は、**動的参照フレーム（Dynamic Reference Frame: DRF）**の導入である。

• モデルのアーキテクチャ： 組織は以下の3つの細胞セットによって表される。
  1. 物理細胞 ($r_i$)： 実際に変形している細胞の位置。
  2. 参照細胞 ($\rho_i$)： 時間とともに進化する動的な構成であり、組織の「再構築された」状態を表す。
  3. 静的細胞 ($s_i$)： ベースラインとして機能する固定された初期構成。
• 支配方程式：
  • 物理的運動： 物理細胞は、粘性抵抗、外力、および物理細胞と参照細胞を繋ぐスプリング力（式2）の間の力のバランスに従って移動する。スプリング力は、物理的な距離 ($||r_{ij}||$) と参照距離 ($||\rho_{ij}||$) の差に依存する。
  • 参照の進化： 参照細胞は、別の運動方程式（式3）に従って進化する。これらは、2つの競合する力によって駆動される。
    1. 静的構成 ($s_i$) へと引き戻す復元力。
    2. メモリ窓 $T_M$ にわたる、時間平均された物理的構成 ($\bar{r}_{ij}$) へと引き寄せる再構築力。
• 無次元化： システムは、主要なパラメータを定義するために無次元化される。
  • $\alpha$ （再構築比）：復元力に対する再構築力の相対的な強さ。
  • $\eta$ （再構築率）：物理的フレームに対する参照フレームの進化速度。
  • $T_M$ （再構築メモリ）：参照フレームが物理的変形を平均化する時間窓。
• シミュレーション設定： 本モデルは、2種類の実験プロトコル下での2次元上皮単層（105細胞）をシミュレートする。
  1. クリープ緩和： 一定の力を加え、歪みを記録する。
  2. 応力緩和： 歪みを最大値までランプ関数的に増加させ、保持する；応力を記録する。
• 解析： 時系列データは指数関数の和としてフィッティングされる。タイムスケールの数は、単一の指数関数が簡潔な適合を示すか（誤差 $E_1 < 0.05$）、あるいは複数の項が必要とされるかによって決定される。

主要な貢献

1. 動的参照フレーム (DRF)： 本論文は、細胞の瞬時的な変形をその機械的な参照構成から切り離すメカニズムを導入している。これにより、細胞内の構成要素を明示的にモデル化することなく、細胞内の再構築（細胞骨格の再編成、ミオシンターンオーバー、接着結合の再構築など）をシミュレートすることが可能となり、SEモデルのような膨大な計算コストを回避できる。
2. マルチタイムスケールの創発： 著者らは、DRFフレームワークが、細胞ベースモデルにおいて自然にマルチタイムスケール応答（速い弾性変形 ＋ 遅い緩和／クリープ）を生成することを実証した。これは、増殖がない場合の標準的なVTまたは細胞中心モデルには欠けていた特徴である。
3. パラメータ感度： 本研究は、再構築パラメータ ($\alpha, \eta, T_M$) が、どのように単一タイムスケール挙動とマルチタイムスケール挙動の遷移を制御するかを定量化している。
4. 履歴依存性： モデルは、変形解除時の組織の回復が、課された歪みの持続時間に依存するという実験的観察を再現している。これは標準的な弾性モデルが捉えられない現象である。

結果

• クリープ実験：
  • 再構築がない場合（$\alpha=0$）、組織は単一タイムスケールの応答（速い弾性変形に続くプラトー）を示す。
  • 再構築がある場合（$\alpha > 0$）、参照フレームが進化することで、さらなる変形を可能にする第2の、より遅いタイムスケールが出現する。
  • マルチタイムスケール挙動の出現は、加えられた力の大きさに対しては頑健であるが、$\alpha$（再構築の強さ）および $\eta$（再構築率）に対しては非常に敏感である。メモリ窓 ($T_M$) を大きくすることも、マルチタイムスケール挙動を促進する。
• 応力緩和実験：
  • クリープと同様に、再構築は二次的な緩和フェーズを導入する。
  • ランプ時間 ($T_R$) は制御パラメータとして機能する。中間的なランプ時間では、ランプ後の明確な緩和タイムスケールが露出するが、非常に短い、あるいは非常に長いランプでは、それらが隠されてしまう可能性がある。
  • $T_M$ を大きくすると、マルチタイムスケール応答が観察されるパラメータ空間が拡大する。
• 歪みからの回復：
  • 再構築のないモデルでは、保持された歪みを解放した後の回復率は、保持時間 ($T_H$) に依存しない。
  • DRFモデルでは、回復率は $T_H$ に反比例する。モデルは、保持時間が長いほど参照フレームがさらに変形し（蓄積された細胞内再構築を表す）、その結果、解放時の応力が低くなり、その後の回復が遅くなることを予測している。この挙動は、Harris et al. [6] による「回復は変形期間に依存する」という一般的な実験的知見と一致しているが、具体的な $1/T_H$ の関係性は、提案されたモデルによる定量的な結果である。

意義と主張
本論文は、細胞内再構築を組織スケールで研究するための、計算効率の高いフレームワークを提供することを主張している。DRFを標準的な細胞中心モデルに拡張することで、プロヒビティブ（過度に高価）な細胞内シミュレーションや、測定不可能なパラメータを持つ現象論的な連続体モデルを用いることなく、上皮単層で見られる複雑なマルチタイムスケールの機械的挙動を再現することができる。

著者らは、このフレームワークが「生物学的組織の発達と機能に関する、より詳細な記述と分析」を可能にすると述べている。彼らは、このモデルがモジュール的であることを強調している。すなわち、DRFの概念は他のオフ格子モデル（例：バーテックス・ダイナミクス）に適用でき、また、中間的な参照状態を追加することで、3次元への拡張や、細胞の成長および分化といったプロセスへの拡張が可能である。本研究は、細胞内のターンオーバーによって媒介される変形の履歴が、組織力学における重要な要因であり、このアプローチを用いることで体系的に調査できることを示唆している。