On the factorisation of the $p$-adic Rankin-Selberg $L$-function in the supersingular case

1. 연구 배경 및 문제 제기

• 복소수 L-함수의 인수분해: 모듈러 형식 $f$에 대해, 자기 자신과의 Rankin-Selberg 곱 L-함수는 대칭 제곱 L-함수와 디리클레 L-함수의 곱으로 분해됩니다.
  $$L(f \otimes f, s) = L(\text{Sym}^2 f, s) L(\psi, s - k - 1)$$
• p-adic 일반화의 난제: Dasgupta [Das16] 는 $f$가 ordinary(즉, $a_p(f)$가 p-adic 단위) 인 경우 위 식의 p-adic 아날로그를 증명했습니다. 그러나 $f$가 supersingular(즉, $v_p(a_p(f)) > 0$) 인 경우, 기존의 Hida 가족 (Hida family) 기법과 Euler system 이 직접적으로 적용되지 않아 p-adic L-함수의 구성과 인수분해 증명이 매우 어렵습니다.
• 주요 문제:
  1. supersingular 조건에서 Coleman 가족을 통해 정의된 2 변수 p-adic 대칭 제곱 L-함수 $L_p^{\text{imp}}(\text{Sym}^2 F)$를 구성할 수 있는가?
  2. 이 L-함수를 사용하여 $f$의 자기 자신과의 p-adic Rankin-Selberg L-함수를 대칭 제곱 L-함수와 Kubota-Leopoldt L-함수의 곱으로 인수분해할 수 있는가?

2. 방법론 (Methodology)

저자들은 Dasgupta 의 전략을 따르되, supersingular 상황의 난제를 해결하기 위해 **고차 K-이론 (Higher K-theory)**과 **해석적 연속 (Analytic continuation)**을 핵심 도구로 활용합니다.

2.1. Beilinson-Flach Euler System 및 K-원소

• Beilinson-Flach 클래스: 모듈러 곡선의 곱에 정의된 motivic cohomology 클래스인 Beilinson-Flach 클래스 ($BF$) 를 사용합니다.
• K-원소 구성: $f$와 관련된 motivic cohomology 그룹 $H^1_M(\mathbb{Q}(\mu_N), \mathbb{Q}(1+k-j))$ 내에 Beilinson-Flach K-원소 $b_{f,j}$를 구성합니다. 이는 Eisenstein 클래스를 Kuga-Sato 다양체로 푸시포워드 (push-forward) 하고, modular forms 에 해당하는 differential forms 와 쌍대 (pairing) 하여 얻어집니다.
• 고차 K-이론의 도입: Ordinary 조건에서는 단위 군 (unit groups) 을 사용하지만, supersingular 조건에서는 **고차 K-군 (Higher K-groups)**을 사용하여 motivic cohomology 클래스를 정의합니다. 이는 weight 2 형태의 밀도 부족 문제를 해결하고, algebraic characters ($x \mapsto x^n$) 로부터의 해석적 연속을 가능하게 합니다.

2.2. Regulator 공식 (Regulator Formulae)

• 복소수 Regulator: Deligne regulator 를 통해 Beilinson-Flach 클래스의 이미지가 복소수 L-함수의 도함수 $L'(f \otimes f, j+1)$와 비례함을 보입니다.
• p-adic Regulator: Syntomic regulator 를 사용하여 동일한 클래스의 p-adic 이미지가 p-adic L-함수 $L_p^{\text{geom}}(F, F)$와 연결됨을 증명합니다.
• 핵심 아이디어: motivic 클래스 $b_{f,j}$는 1 차원인 character eigenspace 에 속하며, 이는 cyclotomic element $\phi_\psi$와 비례합니다. 복소수 Regulator 공식과 L-함수의 인수분해 성질을 결합하면, 비례 상수가 대칭 제곱 L-값임을 알 수 있습니다. 이를 p-adic Regulator 공식에 대입하여 p-adic 인수분해 관계를 유도합니다.

2.3. Coleman 가족과 해석적 연속

• $f$를 지나는 Coleman 가족 $F$를 고려하여, weight 와 L-함수의 변수를 동시에 변화시킵니다.
• supersingular 조건에서는 weight 2 형태의 집합이 Coleman 가족 내에서 조밀하지 않으므로, algebraic characters ($n \in \mathbb{Z}$) 로부터의 해석적 연속을 통해 p-adic L-함수를 전체 weight space 에서 유일하게 결정합니다.

3. 주요 결과 (Key Results)

3.1. 2 변수 p-adic 대칭 제곱 L-함수의 구성 (Theorem A)

• Coleman 가족 $F$를 통과하는 supersingular 형식 $f$에 대해, 2 변수 meromorphic p-adic L-함수 $L_p^{\text{imp}}(\text{Sym}^2 F)$를 구성했습니다.
• 이 함수는 Coleman 가족의 특수화 (specialisation) 에 해당하는 다양한 모듈러 형식 $f_t$에 대한 불완전 (imprimitive) 복소수 대칭 제곱 L-함수의 값을 보간 (interpolate) 합니다.
• 특히, $L_p^{\text{imp}}(\text{Sym}^2 F)$는 $L_p^{\text{geom}}(F, F)$와 $L_p(\psi, \sigma - \kappa - 1)$의 비율로 정의되며, 이는 대칭 제곱 L-함수의 존재를 보장합니다.

3.2. p-adic 인수분해 공식 (Theorem B)

• Dasgupta 의 결과를 supersingular 조건으로 확장하여 다음 인수분해 공식을 증명했습니다:
  $$L_p^{\text{geom}}(F, F)(\kappa, \kappa, \sigma) = L_p^{\text{imp}}(\text{Sym}^2 F)(\kappa, \sigma) \cdot L_p(\psi, \sigma - \kappa - 1)$$
• 이는 $f$가 supersingular 일 때에도 Rankin-Selberg p-adic L-함수가 대칭 제곱 p-adic L-함수와 Kubota-Leopoldt L-함수의 곱으로 분해됨을 의미합니다.

3.3. 함수 방정식 (Theorem C)

• $\psi$와 $\psi^2$가 primitive 인 경우, 구성된 p-adic 대칭 제곱 L-함수가 **함수 방정식 (Functional Equation)**을 만족함을 증명했습니다.
  $$L_p^{\text{imp}}(\text{Sym}^2 F)(\kappa, 2\kappa + 3 - \sigma) = \varepsilon(\text{Sym}^2 F)(\kappa, \sigma) \cdot L_p^{\text{imp}}(\text{Sym}^2 F^*)(\kappa, \sigma)$$
• 이를 통해 critical strip 의 왼쪽 절반 (left half) 에서의 보간 성질을 오른쪽 절반 (right half) 으로 확장할 수 있었습니다.

4. 의의 및 기여 (Significance)

1. Supersingular 조건에서의 일반화: Dasgupta 의 ordinary 조건에 국한되었던 p-adic L-함수 인수분해 이론을 supersingular 조건으로 성공적으로 확장했습니다. 이는 p-adic Langlands 프로그램 및 BSD 추측 연구에 중요한 기여를 합니다.
2. 새로운 p-adic L-함수의 구성: Coleman 가족을 통과하는 supersingular 형식에 대한 2 변수 p-adic 대칭 제곱 L-함수를 최초로 명시적으로 구성했습니다. 기존 문헌에는 Coleman 가족에 대한 대칭 제곱 L-함수의 완전한 구성이 부재했기 때문에, 이는 인수분해 공식을 통해 유도된 부수적 결과 (by-product) 로서도 가치가 큽니다.
3. 고차 K-이론의 활용: p-adic L-함수 이론에서 고차 K-이론과 motivic cohomology 를 체계적으로 적용하여, ordinary 조건에서 불가능했던 supersingular 상황의 밀도 (density) 문제를 해결했습니다.
4. Euler System 기법의 정교화: Beilinson-Flach Euler system 과 syntomic regulator 를 결합하여, p-adic L-값과 motivic 클래스 사이의 정밀한 관계를 규명했습니다.

결론

이 논문은 supersingular modular forms 에 대한 p-adic L-함수 이론의 중요한 간극을 메웠습니다. motivic cohomology 와 고차 K-이론을 활용하여 새로운 p-adic L-함수를 구성하고, 이를 통해 Rankin-Selberg L-함수의 인수분해 구조를 supersingular 영역에서도 확립함으로써, p-adic 해석학과 대수적 수론의 연결 고리를 더욱 강화했습니다.