On the factorisation of the $p$-adic Rankin-Selberg $L$-function in the supersingular case

1. 問題設定 (Problem)

背景:
モジュラー形式 $f$ とその自身とのランキン・セルバーグ積（テンソル積）の複素 L 関数 $L(f \otimes f, s)$ は、対称二乗 L 関数 $L(\text{Sym}^2 f, s)$ とディリクレ L 関数 $L(\psi, s-k-1)$ の積として因数分解されます（ここで $\psi$ は $f$ のネーター・キャラクター、$k+2$ は重みです）。
$$L(f \otimes f, s) = L(\text{Sym}^2 f, s) L(\psi, s - k - 1)$$

既存の成果:
Dasgupta は、$f$ が $p$ において**通常（ordinary）**である場合（すなわち、$p$ 進 valuation が 0 である場合）、この因数分解が p 進 L 関数のレベルでも成り立つことを証明しました（Dasgupta [Das16]）。この証明には、オイラー系とモチビックコホモロジーが用いられました。

未解決の課題:
$f$ が $p$ において**超特異（supersingular）**である場合（すなわち、$p$ 進 valuation が正である場合）、従来の手法は適用できません。

1. 超特異な場合、p 進ランキン・セルバーグ L 関数は測度ではなく、有界でない局所解析的分布となり、有限位数の指標での値だけでは一意に決定されません。
2. 重み 2 の形式の集合が Coleman 族の中で稠密でないため、通常の Hida 族を用いた変形アプローチが機能しません。
3. 超特異な Coleman 族を通る対称二乗 p 進 L 関数の構成自体が、文献に完全な記述がありませんでした。

この論文は、$f$ が超特異である場合に、Dasgupta の因数分解公式を一般化し、p 進対称二乗 L 関数を構成することを目的としています。

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2. 手法と戦略 (Methodology)

この論文は Dasgupta の戦略を強く踏襲しつつ、超特異な状況に対処するために以下の 2 つの重要な革新を導入しています。

1. 有限位数の指標からの解析接続の放棄:
   通常の場合には、有限位数の指標（ディリクレ指標）での値から p 進 L 関数を決定しますが、超特異な場合はこれが不可能です。代わりに、代数的指標（$x \mapsto x^n$ のような形式）からの解析接続を用います。これにより、重み $k$ と指標の次数 $j$ の両方を変化させることで、p 進 L 関数を一意に決定できる点の集合を確保します。

2. 単位群から高次 K 理論への移行:
   Dasgupta の手法は cyclotomic 単位（1 次の K 群）に基づいていましたが、超特異な場合は高次 K 群（Motivic cohomology）を用いる必要があります。

   • Beilinson-Flach 要素の構成: モジュラー曲線の積上の Eisenstein 類から、Beilinson-Flach 要素（Beilinson-Flach K 要素）$b_{f,j}$ を構成します。これは $H^1_M(\mathbb{Q}(\mu_N), \mathbb{Q}(1+k-j))$ に属するモチビックコホモロジー類です。
   • レギュレーター公式: この要素の複素レギュレーター（Deligne レギュレーター）と p 進レギュレーター（syntomic レギュレーター）を計算し、それぞれが複素 L 関数の微分値と p 進 L 関数の値に対応することを示します。
   • Kuga-Sato 多様体: 計算の舞台として Kuga-Sato 多様体 $W_k$ を用い、そのコホモロジーにおける対称性と反対称性の分解を利用します。特に、$f=g$ の場合、$f \otimes f$ のコホモロジーは $\text{Sym}^2$ と $\wedge^2$ に分解され、Beilinson-Flach 要素が $\wedge^2$ 成分（対称二乗の双対に関連）に現れるように調整します。

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3. 主要な貢献と結果 (Key Contributions and Results)

論文は以下の 3 つの主要な定理を証明しています。

定理 A: 2 変数 p 進対称二乗 L 関数の構成

Coleman 族 $\mathcal{F}$（超特異な形式 $f$ の p 安定化を通る）に対して、2 変数の p 進 L 関数 $L^{\text{imp}}_p(\text{Sym}^2 \mathcal{F})$ を構成しました。

• この関数は、Coleman 族の特殊化 $f_t$ に対する非素な対称二乗複素 L 関数 $L^{\text{imp}}(\text{Sym}^2 f_t, s)$ の特殊値を補間します。
• 補間公式は、重み $t$ と指標の次数 $j$ の特定の範囲（左半分の臨界領域 $0 \le j \le t$）で成立します。
• この構成は、既存の文献にない Coleman 族に対する対称二乗 p 進 L 関数の具体的な構成を提供しています。

定理 B: Dasgupta 型の因数分解公式

Coleman 族 $\mathcal{F}$ に対して、以下の p 進 L 関数の因数分解が成立することを証明しました。
$$L^{\text{geom}}_p(\mathcal{F}, \mathcal{F})(\kappa, \kappa, \sigma) = L^{\text{imp}}_p(\text{Sym}^2 \mathcal{F})(\kappa, \sigma) \cdot L_p(\psi, \sigma - \kappa - 1)$$
ここで、$L^{\text{geom}}_p$ は [LZ16] で構成された幾何学的 p 進ランキン・セルバーグ L 関数です。

• これは、Dasgupta の結果を超特異な場合に一般化したものです。
• 証明の核心は、Beilinson-Flach K 要素 $b_{f,j}$ と cyclotomic 要素 $\phi_\psi$ の間の比例係数が、複素 L 関数の因数分解 $L(f \otimes f) = L(\text{Sym}^2 f) L(\psi)$ によって決定されることを示し、それを p 進レギュレーターを通じて p 進 L 関数の関係式へと転写することにあります。

定理 C: p 進対称二乗 L 関数の関数等式

$\psi$ と $\psi^2$ が原始であるという仮定の下で、構成した $L^{\text{imp}}_p(\text{Sym}^2 \mathcal{F})$ が関数等式を満たすことを示しました。
$$L^{\text{imp}}_p(\text{Sym}^2 \mathcal{F})(\kappa, 2\kappa + 3 - \sigma) = \varepsilon(\text{Sym}^2 \mathcal{F})(\kappa, \sigma) \cdot L^{\text{imp}}_p(\text{Sym}^2 \mathcal{F}^*)(\kappa, \sigma)$$
これにより、左半分の臨界領域での補間結果を右半分の領域（$t+1 \le j \le 2t+1$）へ拡張し、重み空間全体での補間性を確立しました。

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4. 技術的な詳細と工夫 (Technical Details)

• Beilinson-Flach 要素の整性: 超特異な場合、K 要素の整性（整数環上の定義）を議論するために、$p$ 以外の素数における局所条件（Bloch-Kato の $H^1_f$ 条件）を慎重に検証しました。特に、$j=k$ の場合の扱いが重要でした。
• 対称性の制御: Beilinson-Flach 要素は一般には対称・反対称のどちらの成分にも属さない可能性がありますが、著者らは「コンパクト化された」Beilinson-Flach 要素 $\Xi_{k,k,j}$ を定義し、対称性の操作 $\rho'$ に対して適切な固有空間（$\wedge^2$ 成分）に収まるように調整しました。これにより、対称二乗 L 関数との対応が明確になりました。
• p 進レギュレーターと p 進 L 関数の接続: Syntomic cohomology を用いた p 進レギュレーター公式を適用し、Beilinson-Flach 要素の値が幾何学的 p 進 L 関数 $L^{\text{geom}}_p$ に比例することを示しました。ここが、複素 L 関数の因数分解を p 進の世界へ持ち込む鍵となります。
• 因数分解による定義: 超特異な場合、対称二乗 p 進 L 関数を直接構成するのではなく、ランキン・セルバーグ L 関数と Kubota-Leopoldt 型 L 関数の商として定義し、その後に補間性を証明するという逆転のアプローチを採用しました。

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5. 意義と影響 (Significance)

• 超特異な場合の一般化: 従来の p 進 L 関数の理論は主に通常（ordinary）な場合に発展してきました。この論文は、超特異な場合におけるランキン・セルバーグ積の因数分解を初めて確立し、p 進数論の範囲を大幅に拡張しました。
• 高次 K 理論の応用: 超特異なモジュラー形式の扱いにおいて、高次 K 理論（Motivic cohomology）が不可欠であることを示し、その具体的な計算手法を提示しました。
• Coleman 族への適用: 固定された重みではなく、Coleman 族全体を通じた 2 変数 p 進 L 関数の構成と性質の解明は、Iwasawa 理論や BSD 予想の p 進版への応用において重要なステップとなります。
• 今後の展望: 構成された p 進対称二乗 L 関数は、超特異な場合の p 進 BSD 予想や、Selmer 群の構造を理解する上で重要な道具となります。また、この結果は、より一般的なモジュラー形式や、他の数体への拡張への道を開いています。

総じて、この論文は、p 進 L 関数の理論において長年の課題であった「超特異な場合の対称二乗因数分解」を、高度なコホモロジー論とレギュレーター公式を用いて解決した画期的な成果です。