Pullback formula for vector-valued Hermitian modular forms on $\mathrm{U}_{n,n}$

기술 요약: $U_{n,n}$ 상의 벡터 값 헤르미션 모듈러 형식을 위한 풀백 공식(Pullback Formula)

문제 제기
본 논문은 CM 필드 $K$(전실체 $K^+$의 2차 허수 확장) 위에서 정의된 유니타리 군 $U(n,n)$ 상의 벡터 값 헤르미션 모듈러 형식의 풀백 공식 구축 및 적용을 다룬다. 스칼라 값 지겔 아이젠슈타인 급수의 곱 공간으로의 지겔 상반평면으로의 풀백은 잘 확립된 결과(Garrett, Kozima)이며, 심플렉틱 군에 대한 벡터 값 확장 사례도 존재하지만, 일반적인 미분 연산자를 포함하는 벡터 값 헤르미션 모듈러 형식에 대한 포괄적인 이론은 부족한 상태였다. 구체적으로, 저자는 헤르미션 설정에 대해 Ibukiyama의 미분 연산자 결과를 일반화하고, 이러한 연산자를 활용하여 벡터 값 헤르미션 아이젠슈타인 급수를 더 작은 차수의 유니타리 군 상의 모듈러 형식들의 텐서 곱과 연결하는 풀백 공식을 도출하고자 한다.

방법론
방법론은 미분 연산자 이론, 아이젠슈타인 급수의 정의, 그리고 국소-전역 계산(local-global computations)의 세 가지 주요 구성 요소로 나뉜다.

1. 미분 연산자와 표현론:
   저자는 표현론, 특히 바일 표현(Weil representation)에 대한 하우 이중성(Howave duality)을 사용하여 오토모픽 성질을 보존하는 미분 연산자를 특징짓는다.

• 저자는 헤르미션 상반평면 $H_n$ 상의 스칼라 함수에 작용하는 미분 연산자 $D$에 대한 조건(조건 A)을 정의한다. 이 조건은 $D$가 가중치 $\kappa$를 갖는 스칼라 모듈러 형식에 적용되었을 때, 그 결과의 제한(restriction)이 낮은 차원의 곱 공간 $H_{n_1} \times \dots \times H_{n_d}$ 상에서 특정 가중치를 갖는 벡터 값 모듈러 형식이 될 것을 요구한다.
• 리 대수(Lie algebra)와 유니타리 군의 결합 작용에 따른 다항식 공간의 분해를 사용하여, 저자는 이러한 연산자의 존재와 연관된 다항식의 "플루리하모니시티(pluriharmonicity, 다변수 조화성)" 사이의 동치를 확립한다.
• 핵심 기술적 결과: 코롤러리 3.21은 미분 연산자 $D = P(\partial_Z)$가 조건 (A)를 만족하기 위한 필요충분조건을 제공한다. 다항식 $P$는 플루리하모닉해야 하며 $GL_n(\mathbb{C}) \times GL_n(\mathbb{C})$의 작용 하에 특정 변환 법칙을 만족해야 한다. 이는 Ibukiyama의 결과를 심플렉틱 사례에서 유니타리 사례로 확장한 것이다.

2. 헤르미션 아이젠슈타인 급수:
   본 논문은 커스프 형식(cusp forms) $f$와 연관된 헤르미션 아이젠슈타인 급수 $E_{n,\kappa}(g, s; \mathfrak{n}, \chi)$ 및 클링겐-아이젠슈타인 급수 $[f]_r^n(g, s; \chi)$를 정의한다. 이들은 표준 파라볼릭 부분군과 특정 무한 성분을 갖는 헤케 캐릭터 $\chi$를 사용하여 구성된다.

3. 풀백 계산:
   핵심 계산은 대각 임베딩 $\iota: G_{n_1} \times G_{n_2} \hookrightarrow G_n$의 상으로 제한된 벡터 값 아이젠슈타인 급수를 다룬다.

• 이중 코셋 분해: 저자는 $P_{n,0} \backslash G_n / G_{n_1, n_2}$의 분해를 활용하여 풀백을 대표원 $\xi_r$들에 대한 합으로 전개한다.
• 항의 소멸: 명제 5.2는 $f$가 커스프 형식일 경우, $r < n_2$에 해당하는 전개 항들이 $f$의 커스피탈리티(cuspidality)와 유니포턴트 라디칼(unipotent radical)의 구조로 인해 소멸함을 보여준다.
• 국소 계산: 비소멸 항($r=n_2$)은 유한 및 무한 곳(place)에서의 국소 적분을 통해 평가된다.
  • 유한 곳 (Good): $\mathfrak{n}$을 나누지 않는 곳 $v \nmid \mathfrak{n}$에 대해, 적분은 사타케 동형 사상(Satake isomorphism)과 헤케 고윳값을 사용하여 계산되며, 표준 $L$-함수 $D_v(s, f; \chi)$와 관련된 인자를 산출한다.
  • 유한 곳 (Bad): $\mathfrak{n}$을 나누는 곳 $v \mid \mathfrak{n}$에 대해, 계산은 특정 레벨 구조와 캐릭터의 컨덕터(conductor)에 의존하며, congruence subgroup의 인덱스를 포함하는 인자를 결과로 낸다.
  • 아르키메데스 곳: 무한 곳의 계산은 숄레스키 분해(Cholesky decomposition)를 이용한 변수 변환과 양의 정치 행렬(positive definite matrices) 영역에 대한 적분을 포함하며, 명시적인 적분으로 정의되는 상수 $c(s, \rho_{n_2})$를 산출한다.

주요 기여 및 결과

• 미분 연산자의 특징화: 본 논문은 스칼라 모듈러 형식을 곱 공간 상에서 규정된 가중치를 갖는 벡터 값 형식으로 매핑하는 미분 연산자에 대한 엄밀한 특징화(코롤러리 3.21)를 제공한다. 여기에는 특정 가중치 제약 하에서 $d=2$인 경우의 존재성과 유일성(최대 스칼라 배까지)(명제 3.22)에 대한 증명이 포함된다.
• 풀백 공식: 주요 정리(정리 5.11)는 풀백 공식을 확립한다. 가중치 $\rho_{n_2}$를 갖는 헤케 고유 형식 $f$와 벡터 값 아이젠슈타인 급수 $E_{n,\kappa}$에 대하여, 제한된 미분 연산자가 적용된 아이젠슈타인 급수와 $f$의 내적은 다음과 같다:
  $$(f, (D_{k,l} E_{n,\kappa})(\iota(g_1, \cdot), s)) = c(s, \rho_{n_2}) \cdot D(s, f; \chi) \cdot [f^\dagger]_{n_2}^{n_1}(g_1, s; \chi)$$
  (레벨 $\mathfrak{n}$에 대한 미세한 조정 포함). 여기서 $D(s, f; \chi)$는 $L$-함수들의 곱이며, $f^\dagger$는 캐릭터 $\chi$에 의한 $f$의 트위스트(twist)이다.
• 명시적 상수: 본 논문은 가중치와 복소 변수 $s$에 의존하는 아르키메데스 적분으로부터 발생하는 상수 $c(s, \rho_{n_2})$를 명시적으로 정의한다(명제 5.10).

의의
본 논문은 벡터 값 헤르미션 설정으로 풀백 공식의 이론을 확장하는 데 의의가 있으며, 이는 이들의 산술적 성질을 연구하기 위한 필수적인 단계이다. 서론에서 언급된 바와 같이, 이러한 공식은 다음 연구에 도구가 된다:

1. 벡터 값 클링겐-아이젠슈타인 급수의 푸리에 계수 조사.
2. 벡터 값 지겔 및 헤르미션 모듈러 형식과 연관된 $L$-함수의 특수값의 대수성을 증명하는 것.
3. 모듈러 형식 간의 congruence(합동) 관계를 확립하는 것.

미분 연산자 프레임워크와 명시적인 풀백 공식을 제공함으로써, 이 연구는 임의의 CM 필드 상의 벡터 값 헤듈러 형식에 대해 이러한 산술적 도구들을 적용할 수 있게 하며, 기존의 연구들이 주로 스칼라 값 또는 특정 심플렉틱 설정에 국한되었던 점을 일반화한다. 저자는 이러한 결과들이 표현론적 통찰력을 통해 적응된 기존의 방법들(유한 곳에 대한 Shimura의 계산, 무한 곳에 대한 Kozima의 방법)을 사용하여 도출되었음을 강조한다.