Pullback formula for vector-valued Hermitian modular forms on $\mathrm{U}_{n,n}$

技術的要約：$U_{n,n}$ 上のベクトル値エルミート・モジュラー形式に対するプルバック公式

問題設定
本論文は、CM体（実体 $K^+$ の二次虚拡大）上のユニタリ群 $U(n,n)$ 上のベクトル値エルミット・モジュラー形式のプルバック公式の構成と応用を扱う。スカラー値のシゲル・アイゼンシュタイン級数の積の上へのシゲル上半平面へのプルバックは既知の結果（Garrett, Kozima）であり、シンプレクティック群への拡張も存在するが、一般的な微分作用素を含むベクトル値のエルミート・モジュラー形式に関する包括的な理論は欠けていた。具体的には、著者はイブキヤマによる微分作用素の研究をエルミートの設定へと一般化し、これらの作用素を用いて、ベクトル値のエルミート・アイゼンシュタイン級数をより低次のユニタリ群上のモジュラー形式のテンソル積に関連付けるプルバック公式を導出することを目指している。

手法
手法は、微分作用素の理論、アイゼンシュタイン級数の定義、および局所・大域計算の3つの主要な構成要素に分かれている。

1. 微分作用素と表現論:
   著者は、表現論、特にヴェイル表現に対するハウ・デュアリティ（Howe duality）を用いて、自律的な性質を保存する微分作用素を特徴付けている。

• 本論文では、エルミート上半空間 $H_n$ 上のスカラー関数に作用する微分作用素 $D$ に対する条件（条件A）を定義している。この条件は、$D$ が重み $\kappa$ のスカラー・モジュラー形式に作用したとき、その結果の低次元空間の積 $H_{n_1} \times \dots \times H_{n_d}$ への制限が、特定の重みを持つベクトル値モジュラー形式を与えることを要求するものである。
• リー代数とユニタリ群の結合作用の下での多項式空間の分解を用いて、そのような作用素の存在と、関連する多項式の「複調和性（pluriharmonicity）」との間の同値性を確立している。
• 主要な技術的結果: 余結言 3.21 は、微分作用素 $D = P(\partial_Z)$ が条件 (A) を満たすための必要十分条件を与える。多項式 $P$ は複調和的であり、かつ $GL_n(\mathbb{C}) \times GL_n(\mathbb{C})$ の作用の下で特定の変換則を満たさなければならない。これは、イブキヤマによるシンプレクティックの場合の結果をユニタリの場合へと拡張するものである。

2. エルミート・アイゼンシュタイン級数:
   本論文では、カスプ形式 $f$ に随伴するエルミート・アイゼンシュタイン級数 $E_{n,\kappa}(g, s; \mathfrak{n}, \chi)$ およびクリンゲン・アイゼンシュタイン級数 $[f]_r^n(g, s; \chi)$ を定義している。これらは、標準的なパラボリック部分群と、特定の無限成分を持つヘッケ・キャラクター $\chi$ を用いて構成される。

3. プルバックの計算:
   核心となる計算は、対角埋め込み $\iota: G_{n_1} \times G_{n_2} \hookrightarrow G_n$ の像への、ベクトル値アイゼンシュタイン級数（微分作用素 $D_{k,l}$ によって作用されたもの）の制限である。

• 両側剰余類分解: 著者は、$P_{n,0} \backslash G_n / G_{n_1, n_2}$ の分解を利用して、プルバックを代表元 $\xi_r$ による和へと展開している。
• 項の消滅: 命題 5.2 は、$f$ がカスプ形式である場合、$r < n_2$ に対応する展開の項が、$f$ のカスピダル性と単冪根の部分群の構造によって消滅することを示す。
• 局所計算: 非消滅項 ($r=n_2$) は、有限次および無限次における局所積分を通じて評価される：
  • 有限次（良な次): $v \nmid \mathfrak{n}$ である次 $v$ について、積分はサタケ同型とヘッケ固有値を用いて計算され、標準的な $L$ 関数 $D_v(s, f; \chi)$ に関連する因子を与える。
  • 有限次（悪な次): $v \mid \mathfrak{n}$ である次 $v$ について、計算は特定のレベル構造とキャラクターの導手（conductor）に依存し、合同部分群の指数を含む因子をもたらす。
  • アルキメデス次: 無限次の計算は、ショレスキー分解を用いた変数変換と、正定値行列の領域上の積分を伴う。これにより、明示的な積分によって定義される定数 $c(s, \rho_{n_2})$ が得られる。

主要な貢献と結果

• 微分作用座の特性付け: 本論文は、スカラー・モジュラー形式を積空間上の指定された重みを持つベクトル値形式へと写す微分作用素の厳密な特性付け（余結言 3.21）を提供している。これには、特定の重みの制約下での $d=2$ の場合の存在性と一意性（定数倍を除いて）（命題 3.22）の証明が含まれる。
• プルバック公式: 主定理（定理 5.11）は、プルバック公式を確立している。重み $\rho_{n_2}$ を持つヘッケ固有形式 $f$ とベクトル値アイゼンシュタイン級数 $E_{n,\kappa}$ に対して、制限された微分作用素をアイゼンシュタイン級数に作用させたものと $f$ との内積は、以下で与えられる：
  $$(f, (D_{k,l} E_{n,\kappa})(\iota(g_1, \cdot), s)) = c(s, \rho_{n_2}) \cdot D(s, f; \chi) \cdot [f^\dagger]_{n_2}^{n_1}(g_1, s; \chi)$$
  （レベル $\mathfrak{n}$ に関する微調整を含む）。ここで、$D(s, f; \chi)$ は $L$ 関数の積であり、$f^\dagger$ はキャラクター $\chi$ による $f$ のねじれ（twist）である。
• 明示的な定数: 本論文は、アルキメデス積分から生じる定数 $c(s, \rho_{n_2})$ を、重みと複素変数 $s$ に依存するものとして明示的に定義している（命題 5.10）。

意義
本論文は、ベクトル値のエルミート設定へとプルバック公式の理論を拡張したことを主張しており、これはこれらの形式の算術的性質を研究するために必要なステップである。導入部で述べられているように、このような公式は以下の研究において極めて重要である：

1. ベクトル値クリンゲン・アイゼンシュタイン級数のフーリエ係数の調査。
2. ベクトル値のシゲルおよびエルミート・モジュラー形式に関連する $L$ 関数の特殊値の代数性の証明。
3. モジュラー形式間の合同関係の確立。

微分作用素の枠組みと明示的なプルバック公式を提供することにより、本研究は、任意のCM体上のベクトル値エルミート・モジュラー形式に対してこれらの算術的ツールの適用を可能にしている。著者は、これらの結果が、表現論的な洞察を通じてベクトル値の文脈へと適応された、確立された手法（有限次についてはシムラの計算、無限次についてはコジマの手法）を用いて導出されていることを強調している。