If a machine did it, it is probably transcendental (even $p$-adically)

기술 요약: "기계가 만들었다면, 그것은 아마도 초월수일 것이다 (p-진수에서도 마찬가지로)"

문제 정의
본 논문은 특정 클래스의 단어(word)에 대응하는 연분수 전개가 갖는 $p$-진수의 대수적 성질을 조사한다. 실수체($\mathbb{R}$)에서의 연분수는 단어의 조합론적 구조와 수의 대수적 성질 사이의 잘 확립된 가교 역할을 하지만(예: 주기적인 단어와 이차 무리수를 연결하는 라그랑주 정리), $p$-진수 체계($\mathbb{Q}_p$)는 상당한 구조적 난제를 제시한다.

본 연구가 다루는 핵심 질문은 "구조화된" 단어들(주기적, 자동적 또는 회문적 단어의 일반화)이 $\mathbb{Q}_p$에서 차수가 2보다 큰 대수적 수에 대응하는가 하는 점이다. 실수체의 경우, Bugeaud와 Adamczewski-Bugeaud의 연구는 이러한 구조화된 단어들이 일반적으로 초월수를 생성하며, 대수적 예외는 오직 이차 무리수(주기적) 또는 유리수(유한)뿐임을 시사한다. 저자들은 정형화된 바닥 함수(floor function)의 부재와 완전한 $p$-진 버전의 라그랑주 정리의 부재를 극복하면서, 이와 유사한 결과를 $\mathbb{Q}_p$에 대해 확립하고자 한다.

방법론
저자들은 실수 체계에서 사용된 Bugeaud의 전략을 채택하며, 주요 도구로서 $p$-진 부분 공간 정리(특히 Schlickewei의 버전)를 활용한다. 방법론은 다음과 같이 진행된다:

1. 단어 클래스: 연구는 Bugeaud가 정의한 주기적 단어의 두 가지 일반화에 집중한다:

   • $\spadesuit$-단어: $W_n U_n V_n U_n$ 형태의 접두사(반복 블록)를 포함하는 단어.
   • $\clubsuit$-단어: $W_n U_n V_n \tilde{U}_n$ 형태의 접두사(회문 블록, 여기서 $\tilde{U}_n$은 $U_n$의 역순)를 포함하는 단어.
     이 클래스들은 자동적 단어(automatic words)와 낮은 복잡도를 가진 단어들을 포함한다.

2. 근사 전략: 핵심 아이디어는 단어의 반복적 또는 회문적 구조를 활용하여 이차적이거나 유리적인 근사수($\alpha_n$)를 구성하는 것이다.

   • $\spadesuit$-단어의 경우, 저자들은 주기적 연분수를 갖는 $\alpha_n$을 구성한다.
   • $\clubsuit$-단어의 경우, 저자들은 회문적 연분수를 갖는 $\alpha_n$을 구성한다.
     원래의 수 $\alpha$와 근사수 $\alpha_n$은 연분수 전개에서 긴 공통 접두사를 공유하므로, $p$-진 거리(metric) 상에서 매우 가깝다.

3. 부분 공간 정리의 적용: 저자들은 $\alpha$와 계속수(continuants, $A_n, B_n$)를 포함하는 특정한 선형 형식을 정의한다. 만약 $\alpha$가 차수가 3 이상인 대수적 수라면, 구조화된 단어가 제공하는 근사의 품질이 $p$-진 부분 공간 정리가 부과하는 경계를 위반하게 됨을 입증한다. 이는 모순을 야기하며, 결과적으로 $\alpha$가 차수 3 이상일 수 없음을 의미한다.

4. $p$-진 특수성 처리: 기술적 작업의 상당 부분은 비정형적인 $p$-진 바닥 함수($s: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{Z}[1/p]$)를 관리하는 데 할애된다. 저자들은 수렴성과 부분 공간 정리의 적용 가능성을 보장하기 위해 부분 양수(partial quotients)에 대한 완만한 조건(구체적으로 $p$-진 노름과 유클리드 노름에 대한 상한선)을 부과한다.

주요 기여 및 결과
본 논문의 주요 기여는 정리 1.4(및 그 명시적 버전인 정리 4.1, 4.3)이며, 이는 다음과 같다:

$p$를 홀수 소수라 하고 $s$를 $p$-진 바닥 함수라고 하자. 만약 $\alpha = [0, a_1, a_2, \dots]_s$가 특정 조건 $\spadesuit$ 또는 $\clubsuit$를 만족하는(계속수의 성장 및 부분 양의 크기에 대한 특정 경계 조건을 갖는) 단어를 갖는 $p$-진수라면, $\alpha$는 유리수, 이차 무리수, 또는 초월수 중 하나이다.

구체적인 결과는 다음과 같다:

• 실수 결과의 일반화: 이는 Bugeaud의 실수 체계에 대한 정리 1.3에 대한 $p$-진 대응물을 제공하며, "발생하기 어려운 교차(unlikely intersections)" 철학을 비아르키메데스 환경으로 확장한다.
• 따름정리 1.5: 이 결과는 Ruban이나 Browkin의 고전적인 $p$-진 연분수 알고리즘에 적용되며, 단 반복이 있는 경우의 경우 부분 양이 특정 $p$-진 하한값(예: Ruban 함수의 경우 $|a_n|_p \ge p^4$)을 만족해야 한다.
• 따름정리 1.6: 이 결과는 유한 알파벳(특히 $\{n/p, m/p\}$) 상의 자동 수열에 적용되며, 충분히 큰 $p$에 대해 생성된 $p$-진수가 유리수, 이차 무리수 또는 초월수임을 보여준다.
• 조건의 정교화: 저자들은 초월성을 보장하기 위해 필요한 부분 양의 임계값을 정의하는 명시적인 상수($C_\infty, C_p, k$)를 정리 4.1과 4.3에서 제공한다.

의의 및 주장
저자들은 이 연구가 (구조화된 단어가 차수 2보다 큰 대수적 수에 대응할 수 있는가에 대한) 질문 1.1을 $p$-진 환경의 광범위한 단어 클래스에 대해 부정적으로 해결했다고 주장한다.

• 구조적 어려움의 극복: $p$-진의 경우 바닥 함수의 선택지가 무한하고 보편적인 라그랑주 정리가 없기 때문에 실수 체계보다 더 복잡하다는 점을 강조한다. 저자들의 결과는 특정 구성에 국한되지 않고, 완만한 유계 조건을 만족하는 모든 $p$-진 바닥 함수에 대해 유효하다는 점에서 의의가 있다.
• 분야 간의 연결: 본 연구는 단어 조합론과 수론 사이의 깊은 연결을 강화하며, 주기적 단어(차수 2)와 일반적인 단어(초월수) 사이의 "간극"이 정형적인 실수 바닥 함수의 특성 없이도 $p$-진 영역에서도 지속됨을 입증한다.
• 겸손한 결론: 저자들은 자신들의 결과가 $\spadesuit$ 및 $\clubsuit$ 단어(자동 단어 포함)를 다루고 있지만, 모든 저복잡도 단어가 초월수를 생성하는지에 대한 질문은 여전히 열려 있다고 언급한다. 이는 $\clubsuit$ 단어에 대한 (저복잡도와 $\spades_dot$를 연결하는) 정리 2.1의 직접적인 대응물이 아직 확립되지 않았기 때문이다.

요약하자면, 본 논문은 "기계"(자동 단어를 생성하는 유한 상태 기계)가 생성하는 구조화된 $p$-진 연분수는 일반적으로 초월수를 생성하며, 대수적 예외는 오직 차수가 2 이하인 경우뿐임을 확립한다.