If a machine did it, it is probably transcendental (even $p$-adically)

Resumen Técnico: "Si una máquina lo hizo, es probablemente trascendente (incluso p-ádicamente)"

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la naturaleza algebraica de los números $p$-ádicos cuyas expansiones de fracciones continuas corresponden a clases específicas de palabras. Mientras que las fracciones continuas en el entorno real ($\mathbb{R}$) proporcionan un puente bien establecido entre la estructura combinatoria de las palabras y las propiedades algebraicas de los números (por ejemplo, el teorema de Lagrange que vincula las palabras periódicas con los irracionales cuadráticos), el entorno $p$-ádico ($\mathbb{Q}_p$) presenta desafíos estructurales significativos.

La cuestión central abordada es si familias de "palabras estructuradas" (generalizaciones de palabras periódicas, automáticas o palíndromas) corresponden a números algebraicos de grado mayor que 2 en $\mathbb{Q}_p$. En el caso real, los resultados de Bugeaud y Adamczewski-Bugeaud sugieren que tales palabras estructuradas generalmente producen números trascendentes, siendo las únicas excepciones algebraicas las cuadráticas (periódicas) o racionales (finitas). Los autores pretenden establecer un resultado análogo para los números $p$-ádicos, superando la falta de una función piso canónica y la ausencia de un análogo $p$-ádico completo del teorema de Lagrange.

Metodología
Los autores adaptan la estrategia utilizada por Bugeaud en el entorno real, utilizando el Teorema del Subespacio $p$-ádico (específicamente la versión de Schlickewei) como la herramienta principal. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Clases de Palabras: El estudio se centra en dos generalizaciones de las palabras periódicas definidas por Bugeaud:

   • Palabras $\spadesuit$: Palabras que contienen prefijos de la forma $W_n U_n V_n U_n$ (bloques repetidos).
   • Palabras $\clubsuit$: Palabras que contienen prefijos de la forma $W_n U_n V_n \tilde{U}_n$ (bloques palíndromos, donde $\tilde{U}_n$ es la reversión de $U_n$).
     Estas clases incluyen palabras automáticas y palabras de baja complejidad.

2. Estrategia de Aproximación: La idea central es aprovechar la estructura repetitiva o palíndroma de la palabra para construir una secuencia de números aproximantes ($\alpha_n$) que son o bien cuadráticos o racionales.

   • Para las palabras $\spadesuit$, los autores construyen $\alpha_n$ con fracciones continuas periódicas.
   • Para las palabras $\clubsuit$, los autores construyen $\alpha_n$ con fracciones continuas palíndromas.
     Debido a que el número original $\alpha$ y los aproximantes $\alpha_n$ comparten un prefijo común largo en sus expansiones de fracción continua, están extremadamente cerca en la métrica $p$-ádica.

3. Aplicación del Teorema del Subespacio: Los autores definen formas lineales específicas que involucran a $\alpha$ y los continuantes ($A_n, B_n$) de la fracción continua. Demuestran que si $\alpha$ fuera algebraico de grado $\ge 3$, la calidad de aproximación proporcionada por las palabras estructuradas violaría los límites impuestos por el Teorema del Subespacio $p$-ádico. Esto conduce a una contradicción, implicando que $\alpha$ no puede ser de grado 3 o superior.

4. Gestión de las Especificidades $p$-ádicas: Una parte significativa del trabajo técnico consiste en gestionar la naturaleza no canónica de las funciones piso $p$-ádicas ($s: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{Z}[1/p]$). Los autores imponen condiciones leves sobre los cocientes parciales (específicamente límites sobre sus normas $p$-ádicas y euclidianas) para asegurar la convergencia y la aplicabilidad del Teorema del Subespacio.

Contribuciones Clave y Resultados
La principal contribución del artículo es el Teorema 1.4 (y sus versiones explícitas, Teoremas 4.1 y 4.3), que establece:

Sea $p$ un primo impar y $s$ una función piso $p$-ádica. Si $\alpha = [0, a_1, a_2, \dots]_s$ es un número $p$-ádico cuya palabra asociada satisface la condición $\spadesuit$ o $\clubsuit$ (con límites específicos sobre el crecimiento de los continuantes y el tamaño de los cocientes parciales), entonces $\alpha$ es racional, cuadrático o trascendente.

Hallazgos específicos incluyen:

• Generalización de Resultados Reales: Esto proporciona un análogo $p$-ádico del Teorema 1.3 de Bugeaud para números reales, extendiendo la filosofía de las "intersecciones improbables" al entorno no arquimediano.
• Corolario 1.5: El resultado se aplica a los algoritmos clásicos de fracciones continuas $p$-ádicas de Ruban y Browkin, siempre que los cocientes parciales satisfagan ciertos límites inferiores en sus valores absolutos $p$-ádicos (por ejemplo, $|a_n|_p \ge p^4$ para la función de Ruban con repeticiones).
• Corolario 1.6: El resultado se aplica a las secuencias automáticas sobre alfabetos finitos (específicamente $\{n/p, m/p\}$), mostrando que para un $p$ suficientemente grande, los números $p$-ádicos resultantes son racionales, cuadráticos o trascendentes.
• Refinamiento de Condiciones: Los autores proporcionan constantes explícitas ($C_\infty, C_p, k$) en los Teoremas 4.1 y 4.3 que definen los umbrales precisos para los cocientes parciales requeridos para garantizar la trascendencia.

Significado y Pretensiones
Los autores afirman que este trabajo resuelve la Pregunta 1.1 (si las palabras estructuradas pueden corresponder a números algebraicos de grado $>2$) en negativo para una amplia clase de palabras en el entorno $p$-ádico.

• Superación de Dificultades Estructurales: El artículo destaca que el caso $p$-ádico es más complejo que el caso real debido a las infinitas elecciones de funciones piso y la falta de un teorema de Lagrange universal. Los resultados de los autores son significativos porque se mantienen para cualquier función piso $p$-ádica que satisfaga condiciones de acotación leves, en lugar de estar restringidos a construcciones específicas.
• Puente entre Campos: El trabajo refuerza la profunda conexión entre la combinatoria de palabras y la teoría de números, demostrando que el "vacío" entre las palabras periódicas (grado algebraico 2) y las palabras generales (trascendentes) persiste en el ámbito $p$-ádico, incluso sin las propiedades canónicas de la función piso real.
• Modestia: Los autores señalan que, aunque sus resultados cubren las palabras $\spadesuit$ y $\clubsuit$ (que incluyen palabras automáticas), la cuestión de si todas las palabras de baja complejidad producen números trascendentes sigue abierta en general, ya que un análogo directo del Teorema 2.1 (que vincula la baja complejidad con $\spadesuit$) para las palabras $\clubsuit$ aún no se ha establecido.

En resumen, el artículo establece que las "máquinas" (máquinas de estado finito que generan palabras automáticas) que producen fracciones continuas $p$-ádicas estructuradas generalmente producen números trascendentes, siendo las únicas excepciones algebraicas aquellas de grado máximo 2.