Collatz Representations With Bounded Partial Quotients

무한한 숫자의 미궁

당신은 모든 책이 숫자로 되어 있는 거대하고 무한한 도서관에 서 있다고 상상해 보십시오. 우리 대부분은 3.14와 같은 소수나 1/2과 같은 분수처럼 숫자를 쓰는 표준적인 방식에 익숙합니다. 하지만 수학자들은 다른 이들이 그저 바위라고만 보는 돌덩어리 속에서 조각가가 조각상을 발견하듯, 오래된 것을 바라보는 새로운 방식을 발명하는 습관이 있습니다. 이 도서관에서 가장 유명한 퍼즐 중 하나는 "콜라츠 추측(Collatz Conjecture)"입니다. 이것은 아주 단순한 게임입니다: 어떤 양의 정수를 가져와서, 만약 짝수라면 2로 나누고, 홀수라면 3을 곱한 뒤 1을 더합니다. 이것을 영원히 반복합니다. 큰 질문은 이것입니다: 모든 시작 숫자가 결국 1, 4, 2, 1, 4, 2...라는 작은 루프에 갇히게 될까요? 아무도 확실히 알지 못하지만, 이는 수십 년 동안 세계 최고의 지성들을 괴롭혀 온 수수께끼입니다.

이런 수수께거리를 풀기 위해 수학자들은 종종 "지도"를 사용합니다. 흔한 지도로는 "연분수(continued fraction)"가 있는데, 이는 숫자를 마치 레시피처럼 작은 정수들의 사슬로 분해합니다. 이 새로운 논문은 프란치셰크 코부스(Franciszek Kobus)가 작성한 것으로, "콜라츠 표현(Collatz representation)"이라는 완전히 새로운 종류의 지도를 발명했습니다. 단순히 숫자를 분해하는 대신, 이 지도는 숫자가 콜라츠 게임을 할 때 취하는 구체적인 단계들을 기록합니다. 알고 보면, 이 단계들을 관찰함으로써 우리는 숫자를 설명하는 새로운 방식을 찾아낼 수 있으며, 이는 마치 수학의 DNA 속에 숨겨진 비밀 코드를 찾아내는 것과 같습니다. 이 논문은 흥전한 질문을 던집니다: 만약 우리가 레시피에 사용하는 숫자를 1과 2로만 제한한다면, 우리는 실제로 얼마나 많은 숫자에 도달할 수 있을까요?

1과 2의 마법 레시피

이 논문에서 저자는 콜라츠 게임을 사용하여 유리수(분자와 분모가 모두 홀수인 분수)를 기술하는 특별한 방법을 소개합니다. 콜라츠 알고리즘을 하나의 기계라고 생각해 보십시오. 당신이 숫자를 입력하면, 기계는 일련의 지침들을 뱉어냅니다. 만약 숫자가 홀수라면, 기계는 그 숫자에 3을 곱하고 1을 더합니다. 그런 다음, 결과가 다시 홀수가 될 때까지 2로 계속 나눕니다. 2로 나누어야 했던 횟수가 "부분 몫(partial quotient)"으로 기록됩니다.

예를 들어, 1이라는 숫자로 시작하면 기계는 다음과 같이 작동합니다: $3(1)+1 = 4$, 그 후 다시 1로 돌아오기 위해 2로 두 번 나눕니다. 따라서 지침은 "2로 두 번 나누기"이며, 이를 숫자 2로 씁니다. 1의 "콜라츠 표현"은 단순히 2가 반복되는 수열입니다. 만약 -1로 시작한다면, 기계는 다음과 같이 작동합니다: $3(-1)+1 = -2$, 그 후 2로 한 번 나누어 다시 -1로 돌아옵니다. 따라서 -1의 표현은 1이 반복되는 수열입니다.

이 논문은 매우 멋진 사실을 증명합니다: 결국 자기 자신에게로 돌아오는(1이나 -1처럼) 모든 유리수는 이러한 지침들의 고유하고 반복적인 레시피를 갖는다는 것입니다. 이것은 마치 지문과 같습니다. 서로 다른 두 숫자가 정확히 같은 반복적 단계의 수열을 가질 수는 없습니다.

1과 2의 프랙탈 숲

진정한 마법은 저자가 "만약 우리의 레시피에 1과 2만을 사용한다면 어떻게 될까?"라고 물을 때 일어납니다.

당신이 나무를 만들고 있다고 상상해 보십시오. 당신은 하나의 점으로부터 시작합니다. 그러고 나서 가지를 뻗어 나갑니다. 만약 레시피에 "1"을 추가하면 한 방향으로 가고, "2"를 추가하면 다른 방향으로 갑니다. 이 논문은 만약 당신이 1과 2만을 사용하여 만들 수 있는 모든 숫자의 지도를 계속 만들어간다면, 단순히 무작위로 흩어진 점들을 얻게 되는 것이 아니라고 보여줍니다. 당신은 **프랙탈(fractal)**을 얻게 됩니다.

프랙탈은 고사리 잎이나 눈송이처럼, 아무리 확대해도 똑같은 모양을 유지하는 형태입니다. 저자는 이 점들을 그래프 위에 그리고 선으로 연결합니다. 그 결과는 아름답고 자기 유사적인 패턴입니다. 이 논문은 이 형태들이 "유사하다"는 것을 증명하는데, 이는 즉 같은 모양이지만 크기만 조절되었다는 뜻입니다. 구체적으로, 두 도형이 모서리를 공유하고 있다면, 하나가 옆에 나란히 있을 때 다른 하나는 크기가 2/3이거나, 하나가 다른 하나 위에 쌓여 있다면 크기가 4/3입니다. 그것은 마치 수학으로 만들어진 러시아 인형(마트료시카) 세트와 같습니다.

간극 채우기

가장 놀라운 발견은 이 프랙탈이 얼마나 "가득 차 있는지"에 관한 것입니다. 저자는 음의 무한대부터 -1까지, 그리고 1부터 양의 무한대까지의 수직선을 살펴볼 때, 1과 2만으로 이루어진 숫자를 찾을 수 있음을 증명합니다.

이것을 과녁을 향해 다트를 던지는 것에 비유해 보십시오. 만약 목표가 -5.738과 같은 숫자라면, 1과 2로 만든 다트로 정확히 맞히는 것은 불가능할 수도 있습니다. 하지만 이 논문은 당신이 원하는 만큼 가까이 갈 수 있다는 것을 증명합니다. 당신은 -5.7380001 또는 -5.7380000001에 착륙하는 다트를 던질 수 있습니다. 목표 주변에 아무리 작은 간격을 그리더라도, 그 간격 안에는 "1과 2"로 된 숫자가 존재합니다.

저자는 이러한 숫자들을 찾기 위한 단계별 레시피(구성적 증명)를 제공합니다. 이것은 마치 "뜨겁다, 차갑다(hot and cold)" 게임과 같습니다. 당신은 어떤 숫자로 시작하여, 만약 값이 너무 높다면 값을 떨어뜨리기 위해 레시피에 "2"를 추가합니다. 만약 값이 너무 낮다면 값을 올리기 위해 "1"을 추가합니다. 이 논리를 따름으로써, 당신은 무한한 정밀도로 $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ 범위 내의 어떤 숫자든 좁혀 나갈 수 있습니다.

의미하는 바 (그리고 의미하지 않는 것)

이 논문은 자신이 주장하는 바에 대해 매우 신중합니다. 저자는 1과 2의 임의의 반복되는 수열에 대해, 그와 일치하는 정확히 하나의 유리수가 존재함을 증명합니다. 그러나 또한 모든 1과 2의 무한 수열이 분자와 분모가 홀수인 유리수의 집합에 대응하는 것은 아니라는 점도 지적합니다. 어떤 수열들은 특정 유리 지점에 착륙하기에는 너무나 거칠기 때문입니다.

저자는 또한 유명한 콜라츠 추측에 대해서도 언급합니다. 이 새로운 언어에서, 콜라츠 추측은 양의 정수 중 루프에 갇히는 유일한 숫자가 1이라는 것을 의미합니다. 논문은 음수의 영역에서 존재하는 다른 루프들(예: -1, -5, -7 등)을 나열하지만, 양의 정수에 대해서는 1만이 알려진 유일한 "절대 주기적(absolutely periodic)" 숫자입니다.

그래서 우리는 무엇을 배웠을까요? 우리는 콜라츠 게임의 혼돈스러운 춤이 1과 2라는 구조적이고 아름다운 언어로 번역될 수 있다는 것을 배웠습니다. 이 언어는 수직선을 특정한 방식으로 덮는 프랙탈 지도를 만들어내며, 수직선의 외곽 영역에 있는 거의 모든 숫자를 놀라운 정밀도로 근사할 수 있게 해줍니다. 이는 가장 완고한 수학적 퍼즐 속에서도, 그려지고, 연결되며, 이해되기를 기다리는 숨겨진 패턴이 존재한다는 사실을 상기시켜 줍니다.