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Collatz Representations With Bounded Partial Quotients

El artículo define representaciones de Collatz para un subconjunto de números racionales y demuestra que cualquier número real fuera del intervalo $(-1, 1)$ puede ser aproximado arbitrariamente bien por números racionales cuyas representaciones de Collatz consisten exclusivamente en los dígitos 1 y 2.

Autores originales: Franciszek Kobus

Publicado 2026-07-20

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CC BY 4.0

Autores originales: Franciszek Kobus

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

El laberinto infinito de los números

Imagina que estás en una vasta e infinita biblioteca donde cada libro es un número. La mayoría de nosotros estamos familiarizados con la forma estándar de escribir números: decimales como 3.14 o fracciones como 1/2. Pero los matemáticos tienen la costumbre de inventar nuevas formas de mirar cosas antiguas, muy parecido a cómo un escultor podría ver una estatua en un bloque de piedra que otros solo ven como roca. Uno de los acertijos más famosos en esta biblioteca es la "Conjetura de Collatz". Es un juego simple: toma cualquier número entero, y si es par, córtalo a la mitad; si es impar, multiplícalo por tres y suma uno. Repite esto para siempre. La gran pregunta es: ¿acaso todo número inicial termina atrapado en un pequeño bucle de 1, 4, 2, 1, 4, 2...? Nadie lo sabe con certeza, pero es un enigma que ha desconcertado a las mejores mentes del mundo durante décadas.

Para resolver acertijos como este, los matemáticos suelen utilizar "mapas". Un mapa común es la "fracción continua", que descompone un número en una cadena de enteros más pequeños, como una receta. Este nuevo artículo, escrito por Franciszek Kobus, inventa un tipo de mapa completamente nuevo llamado "representación de Collatz". En lugar de solo descomponer números, este mapa registra los pasos específicos que toma un número cuando juega al juego de Collatz. Resulta que, al observar estos pasos, podemos describir los números de una manera que revela patrones ocultos, casi como encontrar un código secreto en el ADN de las matemáticas. El artículo plantea una pregunta fascinante: Si solo permitimos que el mapa utilice los números 1 y 2 en su receta, ¿cuántos números podemos alcanzar realmente?

La receta mágica de los 1 y los 2

En este artículo, el autor introduce una forma especial de escribir números racionales (fracciones con números impares arriba y abajo) utilizando el juego de Collatz. Piensa en el algoritmo de Collatz como una máquina. Le introduces un número y este te devuelve una secuencia de instrucciones. Si el número es impar, la máquina lo multiplica por 3 y le suma 1. Luego, sigue dividiendo por 2 hasta que el resultado sea impar de nuevo. El número de veces que tuvo que dividir por 2 se registra como un "cociente parcial".

Por ejemplo, si empiezas con el número 1, la máquina hace: $3(1)+1 = 4$ , luego divide por 2 dos veces para volver a 1. Así que la instrucción es "dividir por 2 dos veces", lo cual escribimos como el número 2. La "representación de Collatz" de 1 es simplemente la secuencia repetitiva de 2s. Si empiezas con -1, la máquina hace: $3(-1)+1 = -2$ , luego divide por 2 una vez para volver a -1. Por lo tanto, la representación de -1 es una secuencia repetitiva de 1s.

El artículo demuestra un hecho muy interesante: cada número racional que eventualmente regresa a sí mismo (como el 1 o el -1) tiene una receta única y repetitiva de estas instrucciones. Es como una huella dactilar; no hay dos números diferentes que tengan exactamente la misma secuencia repetitiva de pasos.

El bosque fractal de los 1 y los 2

La verdadera magia ocurre cuando el autor se pregunta: "¿Qué pasa si solo usamos los números 1 y 2 en nuestra receta?"

Imagina que estás construyendo un árbol. Empiezas con un solo punto. Luego, te ramificas. Si añades un "1" a tu receta, vas por un lado; si añades un "2", vas por otro. El artículo muestra que, si sigues haciendo esto, creando un mapa de todos los números que puedes formar usando solo 1s y 2s, no obtienes simplemente una dispersión aleatoria de puntos. Obtienes un fractal.

Un fractal es una forma que se ve igual sin importar cuánto te acerques, como la hoja de un helecho o un copo de nieve. El autor dibuja estos puntos en un gráfico y los conecta con líneas. El resultado es un patrón hermoso y autorrepetitivo. El artículo demuestra que estas formas son "similares", lo que significa que son la misma forma pero solo escaladas hacia arriba o hacia abajo. Específicamente, si tienes dos formas que comparten una esquina, una es exactamente 2/3 del tamaño de la otra si están una al lado de la otra, o 4/3 del tamaño si una está apilada sobre la otra. Es como un conjunto de muñecas rusas donde las muñecas están hechas de matemáticas.

Llenando los huecos

El descubrimiento más sorprendente trata sobre qué tan "lleno" es este fractal. El autor demuestra que si miras la recta numérica desde el infinito negativo hasta el -1, y desde el 1 hasta el infinito positivo, puedes encontrar un número hecho solo de 1s y 2s que esté arbitrariamente cerca de cualquier número en esos rangos.

Piensa en ello como intentar darle a un blanco con un dardo. Si el objetivo es un número como -5.738, es posible que no puedas dar en el blanco exactamente con un dardo hecho de 1s y 2s. Pero el artículo demuestra que puedes acercarte tanto como quieras. Puedes lanzar un dardo que caiga en -5.7380001, o en -5.7380000001. No importa cuán pequeño sea el hueco que dibujes alrededor de tu objetivo, hay un número de "1 y 2" dentro de ese hueco.

El autor proporciona una receta paso a paso (una prueba constructiva) para encontrar estos números. Es como un juego de "frío o caliente". Comienzas con un número y, si estás demasiado alto, añades un "2" a tu receta para bajar el valor. Si estás demasiado bajo, añades un "1" para subirlo un poco. Al seguir esta lógica, puedes localizar cualquier número en el rango $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ con precisión infinita.

Lo que esto significa (y lo que no)

El artículo es muy cuidadoso con lo que afirma. Demuestra que para cualquier secuencia repetitiva de 1s y 2s, existe exactamente un número racional que coincide con ella. Sin embargo, también señala que no toda secuencia infinita de 1s y 2s corresponde a un número en el conjunto de los números racionales con numeradores y denominadores impares. Algunas secuencias son simplemente demasiado salvajes para aterrizar en un lugar racional específico.

El autor también menciona la famosa Conjetura de Collatz. En este nuevo lenguaje, la conjetura dice que el único número entero positivo que se queda atrapado en un bucle es el número 1. El artículo enumera otros bucles que existen para los números negativos (como -1, -5, -7, etc.), pero para los enteros positivos, el 1 es el único número "absolutamente periódico" conocido.

Entonces, ¿qué hemos aprendido? Hemos aprendido que la danza caótica del juego de Collatz puede traducirse en un lenguaje estructurado y hermoso de 1s y 2s. Este lenguaje crea un mapa fractal que cubre la recta numérica de una manera muy específica, permitiéndonos aproximar casi cualquier número en las regiones exteriores de la recta numérica con una precisión increíble. Es un recordatorio de que, incluso en los acertijos matemáticos más obstinados, existen patrones ocultos esperando ser dibujados, conectados y comprendidos.

Resumen Técnico: Representaciones de Collatz con Cocientes Parciales Acotados

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la representación de números racionales con numeradores y denominadores impares (denotados como $Q_{odd}$ ) a través de un nuevo marco algorítmico inspirado en la famosa conjetura de Collatz. Mientras que la conjetura de Collatz estándar se refiere a la trayectoria de enteros bajo el mapa $x \mapsto 3x+1$ (con división por 2), este trabajo define una "representación de Collatz" para elementos en $Q_{odd}$ análoga a las fracciones continuas. El problema central investigado es la estructura del conjunto de números racionales cuyas representaciones de Collatz consisten exclusivamente en los cocientes parciales 1 y 2. Específicamente, el autor busca determinar la densidad y las propiedades geométricas de este conjunto dentro de los números reales.

Metodología
El autor define el algoritmo de Collatz para un número inicial $a \in Q_{odd}$ :

Inicializar $A_1 = 3a + 1$ .
Determinar $a_i$ , la valoración 2-ádica del numerador de $A_i$ (en su forma reducida).
Definir $B_i = A_i \cdot 2^{-a_i}$ e iterar con $A_{i+1} = 3B_i + 1$ .

Este proceso genera una secuencia infinita de enteros positivos $C(a) = [a_1, a_2, \dots]$ , denominada la representación de Collatz de $a$ . El trabajo establece una biyección entre el conjunto de secuencias eventualmente periódicas y el conjunto de números racionales en $Q_{odd}$ con representaciones de Collatz eventualmente periódicas.

La metodología central involucra:

Mapeo Inverso: Derivar una fórmula explícita (Ecuación 5) para calcular el número racional único $a = C^{-1}([a_1, \dots, a_n, (b_1, \dots, b_k)])$ para cualquier secuencia eventualmente periódica.
Construcción Geométrica: Definir un punto $P(A) = (C^{-1}[A, (2)], C^{-1}[A, (1)])$ en $\mathbb{R}^2$ para cualquier secuencia finita $A$ compuesta de 1s y 2s. Al conectar puntos derivados de secuencias de longitud creciente, el autor construye una secuencia de figuras geométricas $P_n$ .
Pruebas Analíticas: Utilizar inducción y manipulación algebraica de la fórmula de mapeo inverso para probar las propiedades de escala y los límites de convergencia de estas estructuras geométricas.

Contribuciones Clave y Resultados

Existencia y Unicidad: El artículo demuestra que para cada secuencia eventualmente periódica de enteros positivos, existe precisamente un número racional en $Q_{odd}$ que la genera. Esto establece una biyección bien definida entre secuencias eventualmente periódicas y un subconjunto específico de $Q_{odd}$ .
Estructura Fractal de Cocientes Acotados: El conjunto de puntos generados por secuencias que contienen solo 1s y 2s exhibe una estructura fractal autosimilar. El autor demuestra tres hipótesis geométricas específicas sobre el conjunto $P_n$ :
- Escala: Los triángulos formados por puntos adyacentes en la construcción son similares con factores de escala de $2/3$ (adyacencia horizontal) o $4/3$ (adyacencia vertical).
- Acotación: El conjunto $P_n$ está encerrado por las rectas $y - x = 0$ , $x - 1 = 0$ y $y + 1 = 0$ .
- Comportamiento Límite: La clausura de la intersección de la recta $y=x$ y el límite de los conjuntos $P_n$ corresponde a la semirrecta donde $x \leq 1$ .
Teorema de Densidad: El resultado principal (Teorema 3.8) demuestra que el conjunto de números racionales cuyas representaciones de Collatz consisten únicamente en 1s y 2s es denso en el intervalo $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ . La prueba es constructiva, mostrando que para cualquier número real $z \leq -1$ y cualquier $\epsilon > 0$ , se puede construir algorítmicamente una secuencia de 1s y 2s para aproximar $z$ dentro de $\epsilon$ .
Reformulación de la Conjetura Débil de Collatz: El artículo señala que, en esta notación, la Conjetura Débil de Collatz puede reformularse como: "El único entero positivo en $Q_{odd}$ con una representación de Collatz absolutamente periódica es 1". El autor enumera bucles absolutamente periódicos conocidos para enteros negativos (por ejemplo, $[-1]$ , $[-5, -7]$ ).
No Unicidad para Secuencias No Periódicas: El artículo aclara que, si bien el mapeo es biyectivo para secuencias eventualmente periódicas, esto no se cumple para todas las secuencias infinitas. Existen secuencias infinitas de 1s y 2s que no corresponden a la representación de Collatz de ningún número en $Q_{odd}$ .

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una "manera original de representar números racionales" que establece un paralelismo entre el algoritmo de Collatz y las fracciones continuas. Su significancia radica en:

Revelar una estructura fractal inherente al subconjunto de racionales con cocientes parciales acotados (específicamente 1 y 2) bajo el mapa de Collatz.
Demostrar que este subconjunto específico es denso en las regiones $(-\infty, -1]$ y $[1, \infty)$ , lo que implica que los números reales en estos dominios pueden ser aproximados arbitrariamente bien por racionales con representaciones de Collatz simples.
Ofrecer una perspectiva geométrica (a través de la construcción $P_n$ ) que visualiza la distribución de estos números.

El autor mantiene la modestia respecto al alcance, señalando que los resultados dependen de la conexión con las fracciones continuas en diferentes entornos y que el trabajo se centra en el subconjunto específico de racionales con numeradores y denominadores impares. El artículo no pretende resolver la conjetura de Collatz en sí misma, sino que utiliza la mecánica de la conjetura para definir un nuevo sistema de representación con interesantes propiedades topológicas.

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