An Entropy Stable Formulation of Two-equation Turbulence Models with Particular Reference to the k-epsilon Model

기술 요약: $k$-$\epsilon$ 모델을 중심으로 한 2-방정식 난류 모델의 엔트로피 안정적 정식화

문제 정의
유체 역학을 위한 강건한 수치 알고리즘의 설계는 일관성과 안정성에 크게 의존한다. 제2법칙(엔트로피 생성)이 나비에-스토크스 방정식에 대한 근본적인 물리적 안정성 원리를 제공함에도 불구하고, 레이놀즈 평균 나비에-스토크스(RANS) 방정식에 이를 적용하는 것은 매우 까다롭다. 표준 RANS 정식화, 특히 $k$-$\epsilon$와 같은 2-방정식 난류 모델에서는 깁스 관계(Gibbs relation)의 비선형성으로 인해 평균화된 엔트로피와 평균화된 종속 변수 사이의 직접적인 연결 고리가 상실된다. 결과적으로 표준 정식화는 종종 일반화된 엔트로피 함수를 결여하게 되며, 이는 인위적 점성(artificial viscosity)에 의존하지 않고 물리적 안정성 원리를 수치 스킴에 직접 내재시키는 것을 어렵게 만든다. Jansen 등이 수행한 이전의 시도들은 1-방정식 모델이나 레이놀즈 응력 텐서에 관한 6개 방정식 시스템에 국한되었으며, 널리 사용되는 $k$-$\epsilon$ 모델은 엄격한 엔트로피 안정적 정식화를 갖추지 못한 상태로 남아 있었다.

방법론
저자들은 **시공간 평균화(space-time averaging)**를 도입함으로써 2-방정식 난류 모델, 특히 $k$-$\epsilon$ 모델에 대한 엔트로피 안정적 정식화를 도출하는 프레임워크를 제안한다.

1. 시공간 평균화 및 변수 변환:
   본 논문은 소산율($\epsilon$)과 일반화된 엔트로피 사이의 간극을 메우기 위해 시공간 평균화 연산자를 도입한다. 난류 운동 에너지($k$)를 작은 부피에 대해 공간적으로 평균화함으로써, 저자들은 $\epsilon$가 $k$의 공간적 변동을 설명함을 입증한다. 이는 표준 난류 속도 척도인 $q_0 = \sqrt{2k}$ 외에 새로운 속도 척도 $q_1 = (\nu \epsilon)^{1/4}$를 정의하는 데 이어진다. 보존 변수 체계는 밀도, 운동량, 총 에너지, $q_0$, 그리고 $q_1$을 포함하도록 재정의된다. 총 에너지는 $q_0$와 $q_1$ 모두의 기여를 포함하도록 수정된다.

2. 일반화된 엔트로피 함수 및 대칭화:
   이러한 새로운 변수들을 사용하여, 저자들은 시공간 평균 변수에 기반한 수정된 엔트로피 $\hat{s}$를 통해 일반화된 엔트로피 함수 $H(U) = -\rho \hat{s}$를 구축한다. 그에 대응하는 엔트로피 변수 $V$는 보존 변수 $U$에 대한 $H$의 기울기로 유도된다.
   이 변수 변환은 $k$-$\epsilon$ 방정식의 준선형(quasi-linear) 형태를 대칭 쌍곡형 시스템(구체적으로는 대칭 대류-확산 시스템)으로 변환한다. 시간 미분 항과 대류 항의 계수 행렬은 대칭이 되며, 확산 행렬은 특정 제약 조건 하에서 대칭 양의 준정부호(symmetric positive-semidefinite)임이 입증된다.

3. 엔트로피 생성을 위한 제약 조건:
   클라우지우스-뒤오헴(Clausius-Duhem) 부등식(비음의 엔트로피 생성)을 만족시키기 위해, 저자들은 난류 모델 계수에 대한 특정 제약 조건을 도출한다.

• 소산율($\epsilon$)에 대한 난류 확산 계수는 난류 운동 에너지($k$)에 대한 난로 확산 계수와 같아야 한다. 프란틀 수(Prandtl numbers)의 관점에서 이는 $Pr_\epsilon = Pr_k$를 요구한다.
• $q_1$ 방정식의 소스 항(source terms)은 일반화된 엔트로피의 생성이 비음(non-negative)을 유지하도록 특정 부등식을 만족해야 한다. 이는 특정 조건 하에서 생산 항을 압도하도록 소스 함수의 소산 항을 수정하는 과정을 포함한다.

4. 수치적 구현:
   정식화된 방정식은 시간 불연속 갈레르킨/최소제곱 유한 요소법(time-discontinuous Galerkin/least-squares finite element method)을 사용하여 구현된다. 시스템은 GMRES 선형 솔버를 사용하는 예측자-다중 수정자(predictor-multicorrector) 알고리즘을 통해 해결된다. 구현 과정에서는 벽면 근처에서의 강성(stiffness) 문제를 해결하기 위해, 소산과 교차 확산의 균형으로부터 유도된 $q_1$에 대한 특정 경계 조건을 활용한다.

주요 결과
본 논문은 엔트로피 안정적 프레임워크에 적응된 Lam-Bremhorst $k$-$\epsilon$ 모델을 사용하여 거의 비압축성인 난류 평판 경계층에 대한 수치 시뮬레이션을 제시한다.

• 검증: 표면 마찰 계수와 속도 프로파일(벽 좌표 기준)에 대한 결과는 경험적 상관식(Karman-Schönherr) 및 다른 확립된 계산 결과(Patel et al., Wilcox)와 좋은 일치를 보인다.
• 안정성: 수치 스킴은 강건함을 보여준다. 특히, $q_1$ 방정식(변환된 소산 방정식)은 표준 $\epsilon$ 방정식이 갖는 전형적인 수치적 어려움과 대조적으로 탁월한 안정성을 보인다.
• 격자 독립성: 격자 세밀화 연구는 해가 근벽 요소 크기($y^+$)에 비교적 둔감함을 나타내며, 이는 $y^+ = 5.0$과 같이 높은 값에서도 마찬가지이다. 이는 $q_1$에 대한 특정 경계 조건 구현 덕분이며, 이는 일반적으로 $y^+ < 1$을 요구하는 표준 저-레이놀즈 수 $k$-$\epsilon$ 모델과 차별화된다.
• 엔트로피 생성: 시뮬레이션은 경계층 전체에서 총 엔트로피 생성(점성 소산 및 난류 기여분)이 비음임을 확인하여 이론적 유도를 검증한다.

의의 및 주장
저자들은 본 연구가 널리 사용되는 2-방정식 $k$-$\epsilon$ 난류 모델로 엔트로피 안정성의 개념을 성공적으로 확장했다고 주장한다. 시공간 평균화 및 관련 변수인 $q_0$와 $q_1$을 도입함으로써, 저자들은 시스템을 대칭화할 수 있는 일반화된 엔트로피 함수를 회복하였다.

주된 의의는 열역학 제2법칙의 물리적 안정성 원리를 이산화된 정식화에 직접 상속받는 수치 알고리즘을 설계할 수 있다는 점에 있다. 이는 안정성을 위해 인위적 점성을 추가하는 것에 대한 엄격한 대안을 제공한다. 저자들은 도출된 제약 조건(특히 $Pr_\epsilon = Pr_k$)이 엔트로피 생성과 해의 양의 성질(positivity) 모두를 위해 필요하며, 이는 Mohammadi와 Pironneau의 이전 연구 결과와 일치한다고 주장한다. 저자들은 이 프레임워크가 Lam-Bremhorst 모델에 적용된 바와 같이, 더 물리적으로 일관된 난류 모델과 안정적인 수치 스킴을 설계하는 길을 제시한다고 결론짓는다.