An Entropy Stable Formulation of Two-equation Turbulence Models with Particular Reference to the k-epsilon Model

技术摘要：一种熵稳定形式的双方程湍流模型，特别针对 $k$-$\epsilon$ 模型的研究

问题陈述
鲁棒数值算法的设计高度依赖于一致性和稳定性。虽然热力学第二定律（熵增）为纳维-斯托克斯方程提供了基本的物理稳定性原则，但将其应用于雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程却并非易事。在标准的 RANS 表述中，特别是使用像 $k$-$\epsilon$ 这样的双方程湍流模型时，由于吉布斯关系的非线性，平均熵与平均依赖变量之间的直接联系丢失了。因此，标准表述往往缺乏广义熵函数，使得人们难以在不借助人工粘性的情况下，将物理稳定性原则直接嵌入数值方案中。以往试图恢复熵稳定性的尝试（如 Jansen 等人的工作）局限于单方程模型或涉及六个雷诺应力张量方程的系统，使得广泛使用的 $k$-$\epsilon$ 模型缺乏严谨的熵稳定表述。

方法论
作者提出了一个框架，通过引入**时空平均（space-time averaging）**来推导双方程湍流模型（特别是 $k$-$\epsilon$ 模型）的熵稳定表述。

1. 时空平均与变量转换：
   本文引入了一个时空平均算子，以弥合耗散率（$\epsilon$）与广义熵之间的差距。通过对湍动能（$k$）在小体积内进行空间平均，作者证明了 $\epsilon$ 解释了 $k$ 的空间波动。这导致定义了一个新的速度标度 $q_1 = (\nu \epsilon)^{1/4}$，除了标准的湍流速度标度 $q_0 = \sqrt{2k}$ 之外。系统的守恒变量被重新定义，包括密度、动量、总能量、$q_0$ 和 $q_1$。总能量也被修改，以包含来自 $q_0$ 和 $q_1$ 的贡献。

2. 广义熵函数与对称化：
   利用这些新变量，作者构建了一个广义熵函数 $H(U) = -\rho \hat{s}$，其中 $\hat{s}$ 是基于时空平均变量的修正熵。相应的熵变量 $V$ 被定义为 $H$ 对守恒变量 $U$ 的梯度。这种变量变换将 $k$-$\epsilon$ 方程的拟线性形式转化为一个对称双曲系统（具体为对称对流-扩散系统）。时间导数项和对流项的系数矩阵变为对称矩阵，并且在特定约束下，扩散矩阵被证明是对称正半定的。

3. 熵增约束：
   为了确保系统满足克劳修斯-杜希姆不等式（非负熵产生），作者推导了对湍流模型系数的具体约束：

   • 耗散率（$\epsilon$）的湍流扩散率必须等于湍动能（$k$）的湍流扩散率。用普朗特数表示，这要求 $Pr_\epsilon = Pr_k$。
   • $q_1$ 方程中的源项必须满足特定的不等式，以确保广义熵的产生保持非负。这涉及修改源函数中的耗散项，使其在特定条件下能够主导产生项。

4. 数值实现：
   所构成的方程通过时间不连续伽辽金/最小二乘有限元法进行实现。系统使用预测器-多校正器算法结合 GMRES 线性求解器进行求解。该实现处理了 $k$-$\epsilon$ 方程（特别是在壁面附近）的刚性问题，方法是利用从耗散与交叉扩散平衡中导出的特定 $q_1$ 边界条件。

主要结果
论文展示了使用适配了该熵稳定框架的 Lam-Bremhorst $k$-$\epsilon$ 模型对近不可压缩湍流平板边界层的数值模拟。

• 验证： 对于皮肤摩擦系数和速度剖面（在壁面坐标下）的结果显示，其与经验关联式（Karman-Schönherr）以及其他已建立的计算结果（Patel 等，Wilcox）具有良好的一致性。
• 稳定性： 数值方案表现出鲁棒性。值得注意的是，$q_1$ 方程（转换后的耗散方程）表现出极佳的稳定性，这与标准 $\epsilon$ 方程典型的数值困难形成了鲜明对比。
• 网格无关性： 细化研究表明，解对于近壁面单元尺寸（$y^+$）相对不敏感，即使对于高达 $y^+ = 5.0$ 的值也是如此。这归功于 $q_1$ 特定边界条件的实现，它允许使用比典型低雷诺数 $k$-$\epsilon$ 模型（通常要求 $y^+ < 1$）更粗糙的近壁面网格。
• 熵产生： 模拟确认了总熵产生（粘性耗散加上湍流贡献）在整个边界层内保持非负，验证了理论推导。

意义与主张
作者声称，这项工作成功地将熵稳定的概念扩展到了广泛使用的双方程 $k$-$\epsilon$ 湍流模型。通过引入时空平均以及相关的变量 $q_0$ 和 $q_1$，他们恢复了一个广义熵函数，从而使系统可以被对称化。

其主要意义在于能够设计出直接将热力学第二定律这一物理稳定性原则继承到离散形式中的数值算法。这为通过添加人工粘性来实现稳定性提供了一种严谨的替代方案。论文断言，所推导的约束（特别是 $Pr_\epsilon = Pr_k$）对于熵产生和解的正定性都是必要的，这与 Mohammadi 和 Pironneau 先前的发现相一致。作者总结道，该框架为设计更具物理连贯性的湍流模型和稳定的数值方案提供了一条路径，正如在 Lam-Bremhorst 模型上的成功应用所证明的那样。