An Entropy Stable Formulation of Two-equation Turbulence Models with Particular Reference to the k-epsilon Model

Technische Samenvatting: Een entropiestabiele formulering van twee-vergelijkingsturbulentiemodellen met bijzondere aandacht voor het $k$-$\epsilon$-model

Probleemstelling
Het ontwerp van robuuste numerieke algoritmen voor vloeistofdynamica rust zwaar op consistentie en stabiliteit. Hoewel de tweede wet van de thermodynamica (entropieproductie) een fundamenteel fysisch stabiliteitsprincipe vormt voor de Navier-Stokes-vergelijkingen, is de toepassing ervan op Reynolds-gemiddelde Navier-Stokes (RANS)-vergelijkingen niet triviaal. In standaard RANS-formuleringen, in het bijzonder die gebruikmaken van twee-vergelijkingsturbulentiemodellen zoals $k$-$\epsilon$, gaat de directe link tussen de gemiddelde entropie en de gemiddelde afhankelijke variabelen verloren door de niet-lineariteit van de Gibbs-relatie. Bijgevolg missen standaardformuleringen vaak een gegeneraliseerde entropiefunctie, wat het moeilijk maakt om fysische stabiliteitsprincipes direct in het numerieke schema te integreren zonder terug te grijpen op kunstmatige viscositeit. Eerdere pogingen om entropiestabiliteit te herstellen, zoals die van Jansen et al., waren beperkt tot één-vergelijkingmodellen of systemen met zes vergelijkingen voor de Reynolds-spanningstensor, waardoor het veelgebruikte $k$-$\epsilon$-model zonder een rigoureuze entropiestabiele formulering bleef.

Methodologie
De auteurs stellen een raamwerk voor om een entropiestabiele formulering voor twee-vergelijkingsturbulentiemodellen, specifelijk het $k$-$\epsilon$-model, af te leiden door middel van de introductie van ruimte-tijd middeling.

1. Ruimte-tijd middeling en variabele transformatie:
   Het artikel introduceert een ruimte-tijd middelingoperator om de kloof tussen de dissipatiesnelheid ($\epsilon$) en de gegeneraliseerde entropie te overbruggen. Door een ruimtelijke middeling van de turbulente kinetische energie ($k$) over een klein volume uit te voeren, tonen de auteurs aan dat $\epsilon$ de ruimtelijke fluctuaties van $k$ account. Dit leidt tot de definitie van een nieuwe snelheidsschaal, $q_1 = (\nu \epsilon)^{1/4}$, naast de standaard turbulente snelheidsschaal $q_0 = \sqrt{2k}$.
   Het systeem van behoudsvariabelen wordt geherdefinieerd om dichtheid, impuls, totale energie, $q_0$ en $q_1$ te bevatten. De totale energie wordt aangepast om bijdragen van zowel $q_0$ als $q_1$ te omvatten.

2. Gegeneraliseerde entropiefunctie en symmetrisatie:
   Met behulp van deze nieuwe variabelen construeren de auteurs een gegeneraliseerde entropiefunctie $H(U) = -\rho \hat{s}$, waarbij $\hat{s}$ een gemodificeerde entropie is gebaseerd op de ruimte-tijd gemiddelde variabelen. De bijbehorende entropievariabelen $V$ worden afgeleid als de gradiënt van $H$ met betrekking tot de behoudsvariabelen $U$.
   Deze verandering van variabelen transformeert de quasi-lineaire vorm van de $k$-$\epsilon$-vergelijkingen naar een symmetrisch hyperbolisch systeem (specifiek, een symmetrisch advectief-diffusief systeem). De coëfficiëntmatrices voor de tijdderivatie en de advectietermen worden symmetrisch, en de diffusiematrix blijkt symmetrisch positief semi-definiet te zijn onder specifieke restricties.

3. Restricties voor entropieproductie:
   Om ervoor te zorgen dat het systeem voldoet aan de Clausius-Duhem-ongelijkheid (niet-negatieve entropieproductie), leiden de auteurs specifieke restricties af voor de turbulentiemodelcoëfficiënten:

   • De turbulente diffusiviteit voor de dissipatiesnelheid ($\epsilon$) moet gelijk zijn aan de turbulente diffusiviteit voor de turbulente kinetische energie ($k$). In termen van Prandtl-getallen vereist dit dat $Pr_\epsilon = Pr_k$.
   • De brontermen in de $q_1$-vergelijking moeten aan specifieke ongelijkheden voldoen om te garanderen dat de productie van gegeneraliseerde entropie niet-negatief blijft. Dit houdt in dat de dissipatieterm in de bronfunctie moet worden aangepast zodat deze de productietermen onder bepaalde condities domineert.

4. Numerieke Implementatie:
   De geformuleerde vergelijkingen worden geïmplementeerd met behulp van een tijd-discontinue Galerkin/least-squares eindelementmethode. Het systeem wordt opgelost met een predictor-multicorrector algoritme met een GMRES lineaire solver. De implementatie adresseert de stijfheid van de $k$-$\epsilon$-vergelijkingen, met name nabij wanden, door gebruik te maken van een specifieke randvoorwaarde voor $q_1$ die is afgeleid uit de balans tussen dissipatie en cross-diffusie.

Belangrijkste Resultaten
Het artikel presenteert numerieke simulaties van een bijna incompressibele turbulente vlakke plaat grenslaag met behulp van het Lam-Bremhorst $k$-$\epsilon$-model, aangepast aan dit entropiestabiele raamwerk.

• Validatie: De resultaten voor de wrijvingscoëfficiënt en snelheidsprofielen (in wandcoördinaten) vertonen een goede overeenstemming met empirische correlaties (Karman-Schönherr) en andere gevestigde berekeningen (Patel et al., Wilcox).
• Stabiliteit: Het numerieke schema vertoont robuustheid. Met name de $q_1$-vergelijking (de getransformeerde dissipatievergelijking) vertoont uitstekende stabiliteit, wat contrasteert met de typische numerieke moeilijkheden die gepaard gaan met de standaard $\epsilon$-vergelijking.
• Grid Onafhankelijkheid: Een verfijningsstudie geeft aan dat de oplossing relatief ongevoelig is voor de grootte van het element nabij de wand ($y^+$), zelfs voor waarden zo hoog als $y^+ = 5.0$. Dit wordt toegeschreven aan de specifieke implementatie van de randvoorwaarde voor $q_1$, die grovere nabij-wand rasters toestaat vergeleken met standaard low-Reynolds number $k$-$\epsilon$-modellen die doorgaans $y^+ < 1$ vereisen.
• Entropieproductie: De simulaties bevestigen dat de totale entropieproductie (viskeuze dissipatie plus turbulentiebijdragen) niet-negatief blijft over de grenslaag, wat de theoretische afleiding valideert.

Betekenis en Claims
De auteurs claimen dat dit werk erin slaagt het concept van entropiestabiliteit succesvol uit te breiden naar het veelgebruikte twee-vergelijking $k$-$\epsilon$ turbulentiemodel. Door de introductie van ruimte-tijd middeling en de bijbehorende variabelen $q_0$ en $q_1$, herstellen zij een gegeneraliseerde entropiefunctie die het mogelijk maakt om het systeem te symmetriseren.

De primaire betekenis ligt in het vermogen om numerieke algoritmen te ontwerpen die het fysische stabiliteitsprincipe van de tweede wet van de thermodynamica direct in de discrete formulering overnemen. Dit biedt een rigoureus alternatief voor het toevoegen van kunstmatige viscositeit voor stabiliteit. Het artikel stelt dat de afgeleide restricties (met name $Pr_\epsilon = Pr_k$) noodzakelijk zijn voor zowel de entropieproductie als de positiviteit van de oplossing, wat in lijn is met eerdere bevindingen van Mohammadi en Pironneau. De auteurs concluderen dat dit raamwerk een weg biedt naar het ontwerpen van meer fysisch coherente turbulentiemodellen en stabiele numerieke schema's, zoals aangetoond door de succesvolle toepassing op het Lam-Bremhorst model.