Efficient and Robust Block Designs for Order-of-Addition Experiments

기술 요약: 첨가 순서 실험을 위한 효율적이고 강건한 블록 설계

문제 정의
첨가 순서(Order-of-Addition, OofA) 실험은 성분 첨가 순서가 반응 변수에 어떻게 영향을 미치는지 조사한다. 쌍체 순서(Pairwise Ordering, PWO) 및 성분 위치(Component-Position, CP) 모델 하에서 OofA 설계를 구축하는 데 있어 상당한 방법론적 진전이 이루어졌으나, 이질적인 실험 단위(heterogeneous experimental units)를 다루는 데에는 결정적인 공백이 존재한다. 제약 분야의 배치(batch) 공정이나 다환경 생화학 분석과 같은 실제 환경에서는, 그룹 간 변동이 그룹 내 변동보다 큰 별개의 단위 그룹(블록)이 포함되는 경우가 많다. 기존 문헌에는 블록 OofA 설계를 구축하고 평가하기 위한 강건한 프레임워크가 부족하다. 적절한 블로킹(blocking)이 이루어지지 않으면, 배치 간 또는 환경 간 차이에서 발생하는 변동이 실제 첨가 순서 효과를 가릴 수 있다. 또한, 분할 요인 설계에 사용되는 표준 휴리스틱 탐색 알고리 알고리즘(예: 좌표 교환법)은 OofA 설계의 경우 모든 실행(run)이 반드시 성분의 유효한 순열이어야 하므로, 매우 방대하고 제약이 많은 후보 공간을 생성하여 계산적으로 비효율적이다.

방법론
본 논문은 **위치 모델(position models)**과 확장된 지시 함수(indicator function) 접근법을 기반으로 최적의 블록 OofA 설계를 구축하고 선택하기 위한 통합 프레임워크를 제안한다.

1. 위치 모델 및 지시 함수:
   저자들은 성분의 위치를 나타내기 위해 직교 다항식 대비(orthogonal polynomial contrasts)를 사용하는 Stokes와 Xu(2022)의 위치 기반(PB) 모델을 채택한다. 이 모델은 PWO 또는 CP 모델보다 간결하다. 본 연구는 지시 함수 프레임워크(원래 factorial 설계에 대해 Cheng과 Ye, 2004가 제시함)를 OofA 설계로 확장한다.

• 블록 설계를 위해, 지시 함수는 블록 요인 $B$를 포함하도록 확장된다.
• 이 함수는 순수 유형 단어(평균과 위치 효과 사이의 별칭 관계를 나타냄)와 혼합 유형 단어(블록 효과와 위치 효과 사이의 교란 관계를 나타냄)로 분해된다.

2. 단어 길이 패턴(Word Length Pattern, WLP) 기준:
   설계 품질을 평가하기 위해 새로운 기준인 **단어 길이 패턴(WLP)**이 제안된다.

• WLP는 벡터 $(w^P_1, w^B_1, w^P_2, w^B_2, \dots)$이며, 여기서 $w^P_l$은 $l$차 위치 효과의 별칭(aliasing) 심각도를 측정하고, $w^B_l$은 블록 효과와 $l$차 위치 효과 사이의 교란(confounding) 심각도를 측정한다.
• 설계들은 최소 절단(minimum aberration) 기준으로 비교된다. 즉, 설계는 사전식 순서(lexicographically)로 더 작은 WLP를 가질 때 우수하다고 판단된다. 이는 낮은 차수의 효과에 대한 교란을 줄이는 것을 우선시하며, 동일 차수의 효과에 대해서는 교란보다 별칭을 줄이는 것을 우선시한다.

3. 구축 알고리즘:
   전수 탐색의 계산적 불가능성을 극복하기 위해, 저자들은 **직교 라틴 방격(Orthogonal Latin Squares, LSs)**과 **성분 직교 배열(Component Orthogonal Arrays, COAs)**을 활용하는 알고리즘을 개발한다.

• 후보 생성: $m$개의 성분(여기서 $m$은 소수 또는 소수의 거듭제곱)에 대해, 갈로아 필드(Galois field) 상에서 서로 직교하는 라틴 방격 세트를 생성한다. 이들은 순열을 통해 대규모의 후보 COA 및 LS 세트를 생성한다.
• 탐색 전략: 개별 실행을 교환하는 대신, 알고리즘은 후보 COA와 LS를 쌓아 올리는 방식으로 설계를 구축한다. 탐색은 다음과 같이 진행된다:
  • 전체 COA 또는 LS를 블록에 할당한다.
  • 블록 간에 전체 LS를 교환한다.
  • 블록 간에 특정 행(row)을 교환한다.
• 이러한 "블록/행 교환" 전략은 점 교환(point-exchange) 알고리즘에 비해 탐색 공간을 크게 줄여주어, 최소 절단의 최적 설계를 식별할 수 있게 한다.

주요 기여

• 이론적 확장: 본 논문은 지시 함수 프레임워크를 OofA 설계에 성공적으로 적용하였으며, 특히 블록 요인을 처리하기 위해 이를 확장하고 블록 효과(위치 효과)와 교란(블록 효과)을 모두 고려하는 합성 WLP를 정의하였다.
• 알고리즘 효율성: 라틴 방격과 COA를 쌓아 올리는 방식의 알고리즘 개발은 블록 OofA 설계를 구축하기 위한 전수 탐색이나 표준 좌표 교환법에 대한 계산적으로 효율적인 대안을 제공한다.
• 설계 선택 기준: WLP 기준의 도입은 블록 효과와 중요한 위치 효과 사이의 교란을 최소화하는 강건한 블록 OofA 설계를 선택하기 위한 체계적이고 정량적인 방법을 제공한다.

결과 및 검증

• 사례 연구: 논문은 3개의 블록(크기 12)을 가진 5개 성분 설계를 예로 들어 구축 과정을 설명한다. 알고리즘은 LS와 행을 교환함으로써 특정 WLP를 갖는 설계를 성공적으로 식별한다.
• 상관 분석: 상관 도표는 제안된 설계가 효과 사이의 교란과 별칭을 효과적으로 관리함을 보여주며, WLP 기준의 이론적 특성을 확인시켜 준다.
• 시뮬레이션 연구: 시뮬레이션 결과, 제안된 기준과 알고리즘을 사용하여 구축된 설계는 완전 블록 OofA 설계와 유사한 통계적 검정력과 제1종 오류율을 달성한다. 이는 분할 블록 설계가 가설 검정 성능 측면에서 완전 설계의 효율적인 대리물임을 시사한다.

의의 및 주장
본 논문은 이전에 탐구되지 않은 영역인 블록 OofA 설계 구축을 위한 실용적이고 효율적인 방법을 제공한다고 주장한다. 직교 라틴 방격과 위치 모델을 활용함으로써, 본 연구는 계산적으로 과도한 전수 탐색 없이도 이질적인 실험 단위의 변동성을 다룰 수 있는 방법을 제시한다. 저자들은 자신들의 접근 방식이 첨가 순서 효과를 정확하게 반영하면서도 관련된 변동성을 효과적으로 관리할 수 있음을 확언한다. 본 연구는 블로킹이 필수적인 제약 제조 및 재료 과학과 같은 복잡한 실험 환경에서의 향후 연구와 응용을 위한 토대로 제시된다.