Efficient and Robust Block Designs for Order-of-Addition Experiments

Resumen Técnico: Diseños de Bloques Eficientes y Robustos para Experimentos de Orden de Adición

Planteamiento del Problema
Los experimentos de Orden de Adición (OofA, por sus siglas en inglés) investigan cómo la secuencia de adición de los componentes influye en una variable de respuesta. Si bien se han realizado avances metodológicos significativos en la construcción de diseños OofA bajo los modelos de Ordenamiento Pareado (PWO) y de Posición de Componentes (CP), persiste una brecha crítica en el manejo de unidades experimentales heterogéneas. En entornos prácticos —como el procesamiento de lotes farmacéuticos o ensayos bioquímicos multientorno— los experimentos suelen involucrar distintos grupos de unidades (bloques) donde la variación entre grupos excede la variación dentro de los grupos. La literatura existente carece de marcos robustos para la construcción y evaluación de diseños OofA con bloques. Sin un bloqueo adecuado, la variación derivada de las diferencias entre lotes o entornos puede oscurecer los verdaderos efectos de la secuencia de adición. Además, los algoritmos de búsqueda heurística estándar utilizados para diseños factoriales fraccionados (por ejemplo, el intercambio de coordenadas) son computacionalmente ineficientes para los diseños OofA porque cada ejecución debe ser una permutación válida de los componentes, lo que crea un espacio de candidatos vasto y restringido.

Metodología
El artículo propone un marco unificado para la construcción y selección de diseños Oofola de bloques óptimos basados en modelos de posición y un enfoque de función indicadora extendido.

1. Modelos de Posición y Funciones Indicadoras:
   Los autores adoptan el modelo basado en la posición (PB) introducido por Stokes y Xu (2022), el cual utiliza contrastes de polinomios ortogonales para representar las posiciones de los componentes. Este modelo es más parsimonioso que los modelos PWO o CP. El estudio extiende el marco de la función indicadora (originalmente de Cheng y Ye, 2004, para diseños factoriales) a los diseños OofA.

• Para los diseños de bloques, la función indicadora se expande para incluir un factor de bloque $B$.
• La función se descompone en palabras de tipo puro (que representan el aliasing entre la media y los efectos de posición) y palabras de tipo mixto (que representan la confusión entre los efectos de bloque y los efectos de posición).

2. Criterio de Patrón de Longitud de Palabra (WLP):
   Se propone un nuevo criterio, el Patrón de Longitud de Palabra (WLP), para evaluar la calidad del diseño.

• El WLP es un vector $(w^P_1, w^B_1, w^P_2, w^B_2, \dots)$, donde $w^P_l$ mide la severidad del aliasing para los efectos de posición de orden $l$, y $w^B_l$ mide la severidad de la confusión entre los efectos de bloque y los efectos de posición de orden $l$.
• Los diseños se comparan utilizando un criterio de aberración mínima: un diseño es superior si tiene un WLP lexicográficamente menor. Esto prioriza la reducción de la confusión para los efectos de orden inferior y prioriza la reducción del aliasing sobre la confusión para efectos del mismo orden.

3. Algoritmos de Construcción:
   Para superar la intratabilidad computacional de las búsquedas exhaustivas, los autores desarrollan algoritmos que utilizan Cuadrados Latinos Ortogonales (LSs) y Arreglos Ortogonales de Componentes (COAs).

• Generación de Candidatos: Para $m$ componentes (donde $m$ es un número primo o una potencia de un primo), el método genera un conjunto de cuadrados latinos mutuamente ortogonales sobre un cuerpo de Galois. Estos se permutan para crear un gran conjunto de COAs y LSs candidatos.
• Estrategia de Búsqueda: En lugar de intercambiar ejecuciones individuales, el algoritmo construye diseños mediante el apilamiento de COAs y LSs candidatos. La búsqueda procede mediante:
  • Asignación de COAs o LSs completos a los bloques.
  • Intercambio de LSs completos entre bloques.
  • Intercambio de filas específicas entre bloques.
• Esta estrategia de "intercambio de bloques/filas" reduce significativamente el espacio de búsqueda en comparación con los algoritmos de intercambio de puntos, permitiendo la identificación de diseños óptimos con una aberración mínima.

Contribuciones Clave

• Extensión Teórica: El artículo adapta con éxito el marco de la función indicadora a los diseños OofA, específicamente extendiéndolo para manejar factores de bloque y definiendo un WLP compuesto que da cuenta tanto del aliasing (efectos de posición) como de la confusión (efectos de bloque).
• Eficiencia Algorítmica: El desarrollo de algoritmos basados en el apilamiento de cuadrados latinos y COAs proporciona una alternativa computacionalmente eficiente a la búsqueda exhaustiva o a los métodos estándar de intercambio de coordenadas para la construcción de diseños OofA de bloques.
• Criterio de Selección de Diseño: La introducción del criterio WLP ofrece un método sistemático y cuantitativo para seleccionar diseños OofA de bloques robustos que minimicen la confusión de los efectos de bloque con los efectos de posición importantes.

Resultos y Validación

• Casos de Estudio: El artículo ilustra el proceso de construcción utilizando ejemplos, como un diseño de 5 componentes con 3 bloques de tamaño 12. El algoritmo identifica con éxito diseños con WLPs específicos mediante el intercambio de LSs y filas.
• Análisis de Correlación: Los gráficos de correlación demuestran que los diseños propuestos gestionan eficazmente la confusión y el aliasing entre efectos, confirmando las propiedades teóricas del criterio WLP.
• Estudios de Simulación: Las simulaciones indican que los diseños construidos utilizando el criterio y los algoritmos propuestos logran tasas de potencia estadística y de error de Tipo I comparables a las de los diseños OofA de bloque completo. Esto sugiere que los diseños de bloques fraccionados son sustitutos eficientes de los diseños completos en términos de desempeño de las pruebas de hipótesis.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un método práctico y eficiente para la construcción de diseños OofA de bloques, abordando un área previamente inexplorada en la literatura. Al aprovechar los modelos de posición y los cuadrados latinos ortogonales, el estudio ofrece una forma de manejar la variabilidad en unidades experimentales heterogéneas sin recurrir a búsquedas exhaustivas computacionalmente prohibitivas. Los autores sostienen que su enfoque asegura que los diseños reflejen con precisión los efectos de la secuencia de adición mientras gestionan eficazmente la variabilidad asociada. El trabajo se presenta como una base para la investigación futura y aplicaciones en entornos experimentales complejos donde el bloqueo es necesario, como en la fabricación farmacéutica y la ciencia de materiales.