Efficient and Robust Block Designs for Order-of-Addition Experiments

技術要約：添加順序実験のための効率的かつ堅牢なブロック計画

問題提起
添加順序（Order-of-Addition, OofA）実験は、成分の添加シーケンスが応答変数にどのように影響するかを調査するものである。ペアワイズ順序（PWO）モデルやコンポーネント・ポジション（CP）モデルの下でのOofA計画の構築については、手法的な進展が著しいが、不均一な実験単位を扱う上での決定的な欠落が依然として存在する。実用的な環境（例えば、医薬品のバッチ処理や多環境における生化学アッセイなど）では、実験はしばしば、グループ内の変動よりもグループ間の変動が大きい、異なる実験単位のグループ（ブロック）を含む。既存の文献には、ブロック型OofA計画を構築および評価するための堅牢な枠組みが欠けている。適切なブロッキングが行われない場合、バッチ間または環境間の差異から生じる変動が、真の効果を覆い隠してしまう可能性がある。また、分数要因計画で使用される標準的なヒューリスティック探索アルゴリズム（座標交換法など）は、すべての試行が成分の有効な置換（パーミュテーション）でなければならないため、OofA計画においては計算効率が悪くなる。

手法
本論文は、**位置モデル（position models）と拡張された指標関数（indicator function）**アプローチに基づき、最適なブロック型OofA計画を構築および選択するための統一的な枠組みを提案する。

1. 位置モデルと指標関数：
   著者らは、成分の位置を表現するために直交多項式コントラストを利用する、StokesおよびXu (2022) による位置ベース（PB）モデルを採用している。このモデルは、PWOまたはCPモデルよりも簡潔である。本研究は、指標関数フレームワーク（ChengおよびYe, 2004による、要因計画のためのもの）をOofA計画へと拡張している。

• ブロック計画の場合、指標関数はブロック因子 $B$ を含むように拡張される。
• この関数は、純粋型ワード（pure-type words）（平均効果と位置効果の間のエイリアシングを表す）と、混合型ワード（mixed-type words）（ブロック効果と位置効果の間の交絡を表す）に分解される。

2. ワード長パターン（WLP）基準：
   新たな評価基準として、**ワード長パターン（Word Length Pattern, WLP）**を提案する。

• WLPはベクトル $(w^P_1, w^B_1, w^P_2, w^B_2, \dots)$ であり、ここで $w^P_l$ は $l$ 次の位置効果のエイリアシングの深刻度を、$w^B_l$ はブロック効果と $l$ 次の位置効果との間の交絡の深刻度を測定する。
• 計画は最小不在（minimum aberration）基準を用いて比較される。すなわち、ある計画が、低次効果の交絡を優先的に削減し、かつ同次の効果間では交絡よりもエイリアシングの削減を優先するような、辞書順でより小さいWLPを持つ場合に、その計画は優れているとされる。

3. 構築アルゴリズム：
   全探索の計算上の困難さを克服するため、著者らは**直交ラテン方格（Orthogonal Latin Squares, LSs）およびコンポーネント直交配列（Component Orthogonal Arrays, COAs）**を利用したアルゴリズムを開発した。

• 候補生成： $m$ 個の成分（$m$ は素数または素数冪）に対し、ガロア体上の互いに直交するラテン方格の集合を生成する。これらを置換することで、大規模な候補となるCOAおよびLSの集合を作成する。
• 探索戦略： 個々の試行を入れ替える代わりに、アルゴリズムは候補となるCOAおよびLSを積み重ねることで計画を構築する。探索は以下の手順で行われる：
  • 候補となるCOAまたはLSをブロックに割り当てる。
  • ブロック間でLS全体を交換する。
  • ブロック間で特定の行を交換する。
• この「ブロックまたは行の交換」戦略は、点交換（point-exchange）アルゴリズムと比較して探索空間を大幅に縮小し、最小の不在で最適な計画の特定を可能にする。

主な貢献

• 理論的拡張： 本論文は、指標関数フレームワークをOofA計画に適応させることに成功し、特にブロック因子を扱うための拡張と、エイリアシング（位置効果）と交絡（ブロック効果）の両方を考慮した複合WLPの定義を実現した。
• アルゴリズムの効率性： ラテン方格とCOAを積み重ねることに基づくアルゴリズムの開発により、ブロック型OofA計画を構築するための、全探索や標準的な座標交換法に代わる計算効率の高い手法を提供した。
• 計画選択基準： WLP基準の導入により、重要な位置効果とブロック効果との交絡を最小限に抑える、堅牢なブロック型OofA計画を選択するための体系的かつ定量的な手法を提供する。

結果と検証

• ケーススタディ： 本論文は、サイズ12の3ブロックを用いた5成分のデザインなどの例を用いて、構築プロセスを示している。アルゴリズムは、LSや行を交換することによって、特定のWLPを持つ計画を正常に特定できる。
• 相関分析： 相関プロットは、提案された設計が効果間の交絡とエイリアシングを効果的に管理していることを示しており、WLP基準の理論的特性を裏付けている。
• シミュレーション研究： シミュレーションの結果、提案された基準とアルゴリズムを用いて構築された計画は、完全ブロック型OofA計画と同等の統計的検出力とType I 誤差率を達成することが示された。これは、分数ブロック型計画が、仮説検定の性能において完全型計画の効率的な代替物であることを示唆している。

意義と主張
本論文は、ブロック型OofA計画を構築するための実用的かつ効率的な手法を提供すると主張しており、これは文献においてこれまで未開拓であった領域である。位置モデルと直交ラテン方格を活用することで、本研究は、計算量的に膨大な全探索を行うことなく、不均一な実験単位における変動に対処する方法を提示している。著者らは、提案されたアプローチが、添加シーケンスの効果を正確に反映しつつ、関連する変動を効果的に管理することを保証すると断言している。本研究は、ブロック化が必要な医薬品製造や材料科学などの複雑な実験設定における、将来の研究および応用のための基礎として提示されている。