Quadratic flatness and Regularity for Codimension-One Varifolds with Bounded Anisotropic Mean Curvature

기술 요약: 유계된 이방성 제1변분을 갖는 여원 코디멘션(Codimension-One) 바리폴드에 대한 이차적 평탄성 및 정칙성

문제 정의
본 논문은 이방성 제1변분을 갖는 바리폴드의 정칙성 이론에서 존재하는 근본적인 공백을 다룬다. Allard의 기념비적인 연구 [All72]는 유계된 유클리드적(등방성) 제1변분을 갖는 바리폴드가 강력한 정칙성 특성(구체적으로, 단위 밀도 점 근처에서 지지집합이 국소적으로 $C^{1,\alpha}$ 그래프임)을 가진다는 것을 확립했다. 그러나 매개적 타원 적분량(이방성 표면 에너지)과 관련된 바리폴드로 이러한 결과를 확장하는 것은 매우 어려웠다. 주요 장애물은 매개적 적분량과 관련된 바리폴드에 대한 모노토니시티 공식(monotonicity formula)의 부재이다. 이 도구가 없다면, 가측성(rectifiability)과 평탄성을 증명하기 위한 표준 기법들은 실패한다.

구체적으로, 저자들은 유계된 이방성 평균 곡률(균일하게 볼록한 노름 $\phi$에 대하여)을 갖는 여원 코디멘션 바리폴드 $V$를 조사한다. 핵심적인 미해결 문제는 모노토니시티 공식에 의존하지 않고도 이러한 바리폴드의 지지집합(support)이 가측적(rectifiable)이며 정칙적(regular, 구체적으로 $C^2$ 또는 $C^{1,\alpha}$)인지 여부이다. 이전 연구인 De Philippis, De Rosa, 그리고 Ghiraldin [DPDRG18]은 "원자적 조건(atomic condition)" 하에서 가측성을 확립했으나, 유계된 이방성 평균 곡률에 대한 일반적인 이차적 평탄성(quadratic flatness, $C^2$-가측성을 함의함) 결과는 여전히 미해결 상태로 남아 있었다.

방법론
저자들은 모노토니시티 공식의 필요성을 우회하는 비변분적(non-variational) 접근법을 개발한다. 그들의 방법론은 다음을 결합한다:

1. 최대 원리 기법(Maximum Principle Techniques): White [Whi10, Whi16]가 도입하고 De Rosa, Kolasinski, Tione [DRKS20]에 의해 이방성 설정으로 확장된 $(n, h)$-집합 이론을 활용하여, 이방성 평균 곡률을 갖는 바리폴드에 적응된 장벽 원리(barrier principles)를 사용한다.
2. 임의의 닫힌 집합에 대한 곡률 이론: 임의의 집합에 대한 주곡률 및 리치 함수(reach function)의 이론(특히 [HS22] 및 [San20b]에서 다루는 이론)을 활용한다.
3. 기하학적 측도론(Geometric Measure Theory): 지지집합의 국소적 구조를 분석하기 위해 근사 단위 법선 번들(proximal unit-normal bundle) $N(A)$와 리치 함수 $\mathbf{r}_A$의 이론을 사용한다.

모노토니시티 공식을 통해 평탄성을 유도하는 대신, 저자들은 지지집합이 $(n, h)$-집합처럼 행동함을 증명한다. 그 후, 장벽 원리(Lemma 2.12)를 적용하여 지지집합의 주곡률에 대한 추정치를 도출한다. 이 주곡률 추정치를 법선 번들에 대해 적분함으로써, 그들은 지지집합이 "이차적으로 평탄하다(quadratically flat)"는 것, 즉 거의 모든 점에서 서로 접하는 두 개의 구(ball)에 의해 접할 수 있음을 입증한다.

주요 기여 및 결과

1. 이차적 평탄성 정리 (Theorem 1.1 / 3.3):
   본 논문은 $V$가 개집합 내의 $n$차원 바리폴드이고 유계된 이방성 평균 곡률($\|\delta_\phi V\| \le H \|V\|$)을 가지며 지지집합이 국소적으로 유한한 $\mathcal{H}^n$-측도를 갖는다면, 그 지지집합이 $C^2$ 급의 $(\mathcal{H}^n, n)$-가측(rectifiable)임을 증명한다.

   • 구체적으로: 지지집합의 $\mathcal{H}^n$-거의 모든 점 $a$에서, 양쪽에서 각각 하나씩, 서로 접하는 두 개의 구가 $a$에서 지지집합에 접한다.
   • 함의: 이는 지지집합이 $\mathcal{H}^n$-측도 제로인 집합을 제외하고, $C^2$-정칙한 $n$차원 부분 다양체들의 가산적 합집합으로 덮일 수 있음을 의미한다.
   • 독창성: 저자들은 이러한 가설 하에서 지지집합의 1차 가측성(first-order rectifiability) 자체가 새로운 결과임을 언급한다. 증명은 법선 번들의 투영에 제한된 $\mathcal{H}^n$이 라돈 측도라는 가설에 의존하며, 이는 지지집합이 국소적으로 유한한 측도를 갖는 것과 동치임이 밝혀졌다.

2. 정칙성 정리 (Theorem 1.2):
   새로운 이차적 평탄성 결과와 Allard의 국소 이방성 정칙성 정리 [All86, 3.6]를 결합하여, 저자들은 더 높은 단계의 정칙성을 확립한다.

   • 가설: $V$가 유계된 이방성 평균 곡률을 갖는 적분 바리폴드(integral varifold)이고, 지지집합 상의 $\mathcal{H}^n$이 $\|V\|$에 대해 절대 연속이라면, 단위 밀도($\Theta^n(\|V\|, a) = 1$)를 갖는 지지집합의 $\mathcal{H}^n$-거의 모든 점 $a$에서 지지집합은 $C^{1,\alpha}$-하이퍼서피스(hypersurface)이다.
   • 메커니즘: 이차적 평탄성 결과는 이방성 설정에서 이전에 누락되었던, Allard의 정리 [All86]에 요구되는 높이 잉여(height excess)에 대한 "작음 가정(smallness assumptions)"을 검증한다.

3. 유한 둘레 집합에 대한 응용 (Corollary 1.3):
   이 결과들은 이방성 $\phi$-둘레의 제1변분이 제어되는 유한 둘레 집합 $E$에 적용된다. 이 결과는 축소 경계(reduced boundary) $\partial^* E$가 거의 어디에서나 $C^{1,\alpha}$-정칙하며, 가산적인 $C^2$ 하이퍼서피스들로 덮일 수 있음을 명시한다.

의의 및 주장
본 논문은 유계된 이방성 평균 곡률을 갖는 바리폴드의 정칙성에 관한 오랜 미해결 문제를 해결했다고 주장한다.

• 모노토니시티 장벽의 극복: 저자들은 모노토니시티 공식에 의존하는 Allard [All72]의 강력한 기법들이 이방성 설정에서는 접근 불가능하다는 점을 명시적으로 밝힌다. 그들은 이 간극을 성공적으로 메우는 "전혀 다른 접근 방식"을 제공한다.
• 날카로움 및 일반성: 이 결과는 이전에 알려지지 않았던 설정인, 유계된 이방성 평균 곡률을 갖는 여원 코디멘션 바리폴드에 대해 $C^2$-가측성을 확립한다.
• 문헌 수정: 본 논문은 [DRKS20]에서 이러한 조건 하의 유한 둘레 집합의 거의 모든 곳에서의 정칙성에 관한 이전의 주장이 Allard의 정리로부터 즉각적으로 도출된다고 잘못 믿어졌음을 지적하며(Remark 1.4), 이 논문이 그 주장을 엄밀하게 만들기 위해 필요한 결여된 연결 고리(이차적 평탄성)를 제공한다고 밝힌다.

요약하자면, 본 논문은 유계된 이방성 평균 곡률을 갖는 여원 코디멘션 바리폴드의 지지집합이 $C^2$-가측적이며, 완화된 추가 조건 하에서 $C^{1,\alpha}$-정칙적임을 확립함으로써, 모노토니시티 공식의 도움 없이 기하학적 측도론의 핵심 정칙성 이론을 이방성 사례로 확장한다.