Quadratic flatness and Regularity for Codimension-One Varifolds with Bounded Anisotropic Mean Curvature

Resumen Técnico: Planitud Cuadrática y Regularidad para Varifolds de Codimensión Uno con Primera Variación Anisotrópica Acotada

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una laguna fundamental en la teoría de la regularidad de las varifolds con variación primera anisotrópica. Mientras que el trabajo seminal de Allard [All72] estableció que las varifolds con variación primera euclídea (isotrópica) controlada poseen propiedades de regularidad fuertes (específicamente, que su soporte es localmente una gráfica $C^{1,\alpha}$ cerca de puntos de densidad unidad), extender estos resultados al entorno anisotrópico ha resultado difícil. El obstáculo principal es la ausencia de una fórmula de monotonicidad para las varifolds asociadas con integrales elípticas paramétricas (energías superficiales anisotrópicas). Sin esta herramienta, las técnicas estándar para probar la rectificabilidad y la planitud fallan.

Específicamente, los autores investigan varifolds de codimensión uno $V$ en $\mathbb{R}^{n+1}$ con curvatura media anisotrópica acotada (con respecto a una norma uniformemente convexa $\phi$). El problema abierto central es si el soporte de tales varifolds, $\text{spt}\|V\|$, es rectificable y regular (específicamente $C^2$ o $C^{1,\alpha}$) sin depender de la fórmula de monotonicidad. El trabajo previo de De Philippis, De Rosa y Ghiraldin [DPDRG18] estableció la rectificabilidad bajo la "condición atómica", pero un resultado general de planitud cuadrática (que implica rectificabilidad $C^2$) para curvatura media anisotrópica acotada permanecía sin resolver.

Metodología
Los autores desarrollan un enfoque no variacional que evita la necesidad de una fórmula de monotonicidad. Su metodología combina:

1. Técnicas de Principio de Máximo: Utilizando principios de barrera adaptados para varifolds con curvatura media anisotrópica acotada, basándose en la teoría de $(n, h)$-sets introducida por White [Whi10, Whi16] y extendida al entorno anisotrópico por De Rosa, Kolasinski y Tione [DRKS20].
2. Teoría de la Curvatura para Conjuntos Cerrados Arbitrarios: Aprovechando desarrollos recientes en la geometría diferencial de conjuntos cerrados generales (específicamente la teoría de curvaturas principales y funciones de alcance para conjuntos arbitrarios, como se encuentra en [HS22] y [San20b]).
3. Teoría de la Medida Geométrica: Empleando la teoría del haz de normales proximales $N(A)$ y la función de alcance $\mathbf{r}_A$ para analizar la estructura local del soporte.

En lugar de usar la fórmula de monotonicidad para derivar la planitud, los autores prueban que el soporte de la varifold se comporta como un $(n, h)$-set. Luego aplican un principio de barrera (Lema 2.12) para derivar estimaciones sobre las curvaturas principales del soporte. Al integrar estas estimaciones de curvatura sobre el haz normal, establecen que el soporte es "cuadráticamente plano", lo que significa que puede ser tocado por dos bolas mutuamente tangentes en casi todos los puntos.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Teorema de Planitud Cuadrática (Teorema 1.1 / 3.3):
   El artículo demuestra que si $V$ es una varifold de dimensión $n$ en un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n+1}$ con curvatura media anisotrópica acotada ($\|\delta_\phi V\| \le H \|V\|$) y el soporte tiene medida $\mathcal{H}^n$ localmente finita, entonces el soporte es $(\mathcal{H}^n, n)$-rectificable de clase $C^2$.

   • Específicamente: En casi todo punto $a$ (respecto a $\mathcal{H}^n$) en el soporte, existen dos bolas mutuamente tangentes (una desde cada lado) que tocan el soporte en $a$.
   • Implicación: Esto implica que el soporte puede ser cubierto, salvo para un conjunto de medida $\mathcal{H}^n$ cero, por una unión numerable de subvariedades de dimensión $n$ de clase $C^2$.
   • Novedad: Los autores señalan que incluso la rectificabilidad de primer orden del soporte bajo estas hipótesis es un resultado nuevo. La prueba se basa en la hipótesis de que $\mathcal{H}^n$ restringida a la proyección del haz normal es una medida de Radon, lo cual se muestra equivalente a que el soporte tenga medida localmente finita.

2. Teorema de Regularidad (Teorema 1.2):
   Combinando el nuevo resultado de planitud cuadrática con el teorema de regularidad local anisotrópica de Allard [All86, 3.6], los autores establecen una regularidad superior.

   • Hipótesis: Si $V$ es una varifold integral con curvatura media anisotrópica acotada y si $\mathcal{H}^n$ en el soporte es absolutamente continua con respecto a $\|V\|$, entonces en casi todo punto de densidad unidad ($\Theta^n(\|V\|, a) = 1$), el soporte es una hipersuperficie $C^{1,\alpha}$.
   • Mecanismo: El resultado de planitud cuadrática verifica las "suposiciones de pequeñez" sobre el exceso de altura requeridas por el teorema de Allard [All86], las cuales faltaban anteriormente en el entorno anisotrópico.

3. Aplicación a Conjuntos de Perímetro Finito (Corolario 1.3):
   Los resultados se aplican a conjuntos de perímetro finito $E$ donde la variación primera del perímetro $\phi$-anisotrópico está controlada. El corolario establece que la frontera reducida $\partial^* E$ es $C^{1,\alpha}$-regular casi en todas partes y puede ser cubierta por numerables hipersuperficies $C^2$.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma resolver un problema abierto de larga data sobre la regularidad de las varifolds con curvatura media anisotrópica acotada.

• Superar la Barrera de la Monotonicidad: Los autores afirman explícitamente que su enfoque es necesario porque las poderosas técnicas de Allard [All72] (que dependen de la fórmula de monotonicidad) son inaccesibles en el entorno anisotrópico. Proporcionan un "enfoque completamente diferente" que logra cerrar esta brecha.
• Nitidez y Generalidad: El resultado establece la $C^2$-rectificabilidad para varifolds de codimensión uno con curvatura media anisotrópica acotada, un entorno donde tal regularidad era previamente desconocida.
• Corrección de la Literatura: El artículo señala (Observación 1.4) que una afirmación previa en [DRKS20] sobre la regularidad casi en todas partes de los conjuntos de perímetro finito bajo estas condiciones se creía erróneamente que seguía inmediatamente del teorema de Allard; este artículo proporciona el eslabón perdido (la planitud cuadrática) requerido para hacer que dicha afirmación sea rigurosa.

En resumen, el artículo establece que la curvatura media anisotrópica acotada es suficiente para garantizar que el soporte de una varifold de codimensión uno es $C^2$-rectificable y, bajo condiciones adicionales leves, $C^{1,\alpha}$-regular, extendiendo así la teoría central de la regularidad de la teoría de la medida geométrica al caso anisotrópico sin la ayuda de una fórmula de monotonicidad.