Tax reform as a constrained optimization problem: a piecewise-linear framework and software implementation

기술 요약: 제약된 최적화 문제로서의 조세 개혁

문제 정의
선진국의 소득세법은 브래킷(구간), 혜택, 공제라는 복잡하고 상호작용하는 시스템으로 진화해 왔다. 이러한 복잡성은 이론적인 최적 과세 원칙(예: Mirrlees, 1971; Saez, 2001)과 법적 실무 사이의 심각한 괴리를 만드는 "이행 격차(implementation gap)"를 초래한다. 주요 증상은 여러 혜택이 동시에 단계적으로 축소됨에 따라 저소득 및 중산층 가구의 실효 세율이 80%를 초과하는 "한계 세율 급등(marginal-rate spikes)" 현상의 발생이다. 이러한 급등은 근로 의욕을 저해하며, 종종 임시방편적인 역사적 개혁의 의도치 않은 부산물로 나타난다.

기존의 조세 정책 도구들은 세 가지 한계에 직면해 있다:

1. 마이크로 시뮬레이션 모델(예: EUROMOMD, TAXSIM)은 분석가가 제시한 제안을 평가할 수는 있지만, 직접 생성할 수는 없다.
2. 수치적 최적 과세 모델은 정형화된 가설 하에서 추상적이고 매끄러운 스케줄을 최적화하지만, 실제 법전의 구체적인 법적 규칙은 무시한다.
3. 강화 학습 접근법은 최적성을 입증하거나 불가능성을 식별하지 못하는 블랙박스 형태의 정책을 반환한다.

결과적으로, 개혁 노력은 체계적인 재설계보다는 점진적인 조정에 의존하게 되어, 효율성, 형평성 및 단순성에 관한 명시된 목표를 달성하는 데 실패한다.

방법론: 조각별 선형 프레임워크(A Piecewise-Linear Framework)
저자들은 조세 개혁을 제약된 최적화 문제로 설정할 것을 제안한다. 핵심적인 모델링 통찰은 네 가지 완만한 가정 하에서 모든 법정 소득세법이 각 납세자 그룹에 대해 유한 차원의 연속적인 조각별 선형 함수(piecewise-linear function)로 환원될 수 있다는 점이다.

• 가정:

  1. 가산성(Additivity): 총 조세 압력은 개별 규칙 압력의 합이다.
  2. 스칼라 입력(Scalar Input): 각 규칙은 단일 입력(예: 소득)에 대해 세금을 부과한다.
  3. 조각별 선형성(Piecewise Linearity): 한계 압력은 구간 내에서 일정하며, 절대적 압력은 연속적인 조각별 선형 함수이다.
  4. 그룹 이질성(Group Heterogeneity): 자격 요건 및 매개변수는 납세자 특성에 따라 달라지며, 인구를 유한한 그룹으로 분할한다.

• 수학적 정식화:
  그룹 $k$에 속한 납세자 $i$의 총 세금 부채 $f_k(x_i)$는 다음과 같이 표현된다:
  $$f_k(x_i) = \sum_{j} \sum_{b \in \mathcal{B}_{j,k}} \alpha_{j,b,k} g_b(x_{ij}; \Phi_{j,k}) + Z_k$$
  여기서 $\alpha$는 한계 세율, $g_b$는 지지 집합(support set) $\Phi$(컷오프)에 의해 정의된 브래킷 함수이며, $Z_k$는 일시금 이전액(lump-sum transfer)이다.

• 최적화 구조:

  • 결정 변수: 법전의 입법 가능한 매개변수들: 세율($\alpha$), 브래킷 컷오프($\Phi$), 그리고 일시금 이전액($Z$).
  • 제약 조건: 정치적 및 분배적 요구사항을 포함한다:
    • 소득 보장: 순소득 변화에 대한 하한선 (예: 어떤 가구도 $x\%$ 이상 손실을 보지 않음).
    • 한계 제약: 실효 한계 세율에 대한 상한선.
    • 예산 제약: 총 세수 손실/이득의 한계.
    • 규칙 보호: 특정 기존 규칙을 온전히 유지하기 위한 엄격한 제약.
  • 목적 함수: 세수 손실 최소화, 시스템 복잡성(활성 규칙의 가중치 셈) 최소화, 또는 빈곤 격차 최소화.

• 확장:

  • 복잡성: 이진 변수를 사용하여 활성 규칙의 수를 최소화하는 가중 카디널리티(weighted-cardinality) 목적 함수를 통해 모델링되며, 이는 혼합 정수 선형 계획법(MILP)으로 변환된다.
  • 동적 브래킷(Dynamic Bracketing): 최적의 지지 그리드(support grid)를 선택하기 위해 컷오프 지점을 결정 변수로 취급한다.
  • 행동 반응: 과세 대상 소득의 탄력성을 포함한다. 이는 결정 변수와 소득 반응의 곱(세율 $\times$ 소득 반응)을 도입하여 비볼록(nonconvex) 혼합 정수 이차 제약 계획법(MIQCP)을 유발한다. 저자들은 또한 LP 전용 대안으로서 고정점 반복 알고리즘(Algorithm 1)을 제공한다.
  • 불가능성 인증(Infeasibility Certification): 제약 조건이 충돌하는 경우, 솔버는 모순 없는 최소 부분 집합인 불가적 불능 부분계(Irreducible Infeasible Subsystem, IIS)를 반환하여, 특정 목표를 만족하는 개혁안이 존재할 수 없다는 인증서를 제공한다.

주요 기여

1. 모델링 결과: (제시된 네 가지 가정을 충족하는) 법정 코드는 그룹당 하나의 조각별 선형 함수로 환원된다는 증명(Proposition 1)을 통해, 개혁을 LP 또는 MILP로 프레임화할 수 있음을 보여준다.
2. 역회수(Inverse Recovery): 관측된 세금 부채로부터 현재 시스템의 매개변수를 회수하는 방법(Proposition 2)과 고유 식별 가능성을 위한 조건을 제시한다.
3. 개혁-최적화 프레임워크: 최적의 후보를 찾거나 불가능성 인증을 받을 수 있도록 하는 제약 조건 및 목적 함수의 라이브러리를 제공한다.
4. 사례 연구: 15개의 규칙과 13,500명의 가중 납세자를 가진 네덜란드 소득세법의 거의 완전한 재구성을 통해 인증된 개혁안 생성을 입증한다.
5. 소프트웨어 구현: 오픈 소스이며 솔버에 독립적인 파이썬 패키지인 TaxSolver를 공개한다.

결과: 네덜란드 사례 연구
본 프레임워크는 많은 가구에서 높은 한계 세율 급등(>80%)을 보이는 특징을 가진 네덜란드 조세 시스템에 적용되었다. 저자들은 다음을 수행하는 개혁 후보안을 생성했다:

• 한계 세율 평활화: 여러 혜택의 단계적 축소로 인한 급등을 제거하여 한계 압력을 55~80%로 제한했다.
• 가구 보호: 어떤 가구의 순소득도 현재 수준의 95% 미만으로 떨어지지 않도록 보장했다.
• 복잡성 감소: 사전적(lexicographic) 2단계 절차(먼저 세수 손실을 최소화한 후, 제한된 세수 여유 범위 내에서 규칙 수를 최소화)를 통해 활성 규칙의 수를 약 절반으로 줄였다(복잡성 가중치를 89에서 ~32–39로 감소).
• 예산 타당성: $\pm 1.5\%$의 예산 밴드 내에서 작동하였으며, 단순성을 구매하기 위해 추가적인 1%의 여유를 허용하는 이차 목적 함수를 사용했다.

이 연구는 본 프레임워크가 "인증된" 개혁안, 즉 모델링된 공간 내에서 증명 가능한 최적의 완전한 법적 제안을 생성할 수 있음을 보여주었으며, 혹은 특정 정책 목표(예: 극단적인 세율 캡과 엄격한 소득 보호의 결합)가 서로 양립할 수 없음을 식별할 수 있음을 입증했다.

의의
본 논문은 최적 과세 이론과 법적 개혁이라는 정치적 현실 사이의 가교 역할을 한다. 법적 코 자체를 추상적인 스케줄이 아닌 결정 변수로 취급함으로써, 이 방법론은 "이행 격차"를 헤쳐 나갈 수 있는 실행 가능한 방법을 제공한다. 이는 다음과 같은 엄밀한 메커니즘을 제공한다:

• 단순한 복지 함수 최적화를 넘어, 엄격한 정치적 제약(예: "어떤 가구도 소득을 잃지 않는다")을 충족하는 개혁안을 생성한다.
• 휴리스틱 탐색을 넘어, 솔루션이 최선임을 증명하거나 문제가 해결 불가능함을 입증하는 최적성 또는 불가능성 인증을 제공한다.
• 시스템 복잡성과 재정적 결과 사이의 상충 관계를 정량화하여, 정책 입안자가 통제된 세수 손실을 통해 명시적으로 "단순성을 구매"할 수 있게 한다.

저자들은 이 방법론이 현재 저자들과의 긴밀한 협업 하에 네덜란드 재무부에서 실제로 사용되고 있다고 언급하며, 실제 정책 환경에서의 실용적 효용성을 입증하였다.