Measurement-only circuit of perturbed toric code on triangular lattice: Topological entanglement, 1-form symmetry and logical qubits

기술 요약: 삼각 격자 상의 섭동된 토릭 코드에 대한 측정 전용 회로 (Measurement-only Circuit)

문제 정의
토릭 코드(Toric Code, TC)는 전형적인 위상 안정기 코드(topological stabilizer code)로서, 전통적으로 해밀토니안 형식론을 통해 연구된다. 즉, 외부 장(field) 하에서 기저 상태와 상전이(예: 비국소적(deconfined) 위상 상, 힉스(Higgs) 상, 그리고 가둠(confined) 상 사이의 전이)를 분석한다. 정사각형 격자 상의 TC는 잘 이해되어 있으며 자기 쌍대성(self-duality)을 갖는 반면, 삼각 격자 상의 TC는 자기 쌍대성과 이분 그래프(bipartiteness) 특성이 결여되어 있다. 결과적으로, 위상 전이의 위치(예: Wilson 루프와 't Hooft 루프의 응축 지점)가 다를 수 있으며, 위상 얽힘 엔트로피(TEE), 1-형 대칭성(1-form symmetry) 깨짐, 그리고 논리 큐비트 출현 사이의 상호 관계는 아직 명확히 밝혀지지 않았다.

나아가, 투영 측정(projective measurement)의 연속을 통해서만 양자 상태가 진화하는 측정 전용 회로(Measurement-only Circuits, MoC)가 위상 질서를 생성할 수 있음이 입증되었음에도 불구하고, 삼각 격자와 같은 비자기 쌍대 격자에서의 MoC에 대한 체계적인 이해는 부족한 실정이다. 구체적으로, MoC에 의해 유도된 상전이가 해밀토니안 모델의 상전이와 동일한 보편성 클래스(universality classes)에 속하는지, 그리고 TEE 및 무질서 매개변수(disorder parameters)와 같은 관측량이 비평형 설정에서 어떻게 거동하는지를 결정할 필요가 있다.

본 연구에서는 다음과 같은 투영 측정 연산자로 구성된 삼각 격자 상의 MoC를 조사한다:

1. 토릭 코드의 안정기(Stabilizers): $A_s$ (스타 연산자, $X_e$의 곱) 및 $B_p$ (플래키트 연산자, $Z_e$의 곱).
2. 경쟁적 국소 파울리 연산자(Competitive Local Pauli Operators): 외부 자기 및 전기장을 나타내는 단일 사이트 $X_e$ 및 $Z_e$ 측정.

연구에는 양자 상태의 시간 진화를 시뮬레이션하기 위해 효율적인 안정기 형식론(stabilizer formalism) (Gottesman-Knill 정리)이 사용된다. 회로는 특정 확률($p_x, p_z, p_g$)에 따라 이러한 측정들을 순차적으로 적용하여 구성되며, 여기서 $p_g$는 안정기를 측정할 확률이고 $p_x + p_z + p_g = 1$이다.

계산된 주요 관측량은 다음과 같다:

• 위상 얽힘 엔트로피 (TEE): 유니버설 상수 $\gamma$를 추출하기 위해 육각형 서브시스템의 특정 분할을 사용하여 계산됨.
• 1-형 대칭성의 무질서 매개변수: 열린 스트링 연산자($Z$-스트링의 $W(r)$ 및 $X$-스트링의 $T(r)$)의 레니-2(Rényi-2) 상관 함수를 통해 정의됨. 이는 애니온 응축 및 전기적/자기적 1-형 대칭성의 자발적 대칭성 깨짐(SSB)을 진단하는 역할을 함.
• 논리 연산자 (Logical Operators): 4중 퇴화된 기저 상태를 구별하는 비수축 루프 연산자($W_i, T_i$).

저자들은 임계점($p_{gc}$)을 찾고 임계 지수($\nu$)를 추출하기 위해 시스템 크기 $L=24$까지의 유한 크기 스케일링(Finite-Size Scaling, FSS) 분석을 활용한다.

주요 결과

1. 상도표 및 전이: MoC는 뚜렷한 상들을 보인다: (지배적인 장에 따라 힉스 또는 가둠 영역에 해당하는) 자명한 곱 상태(trivial product state)와 위상 질서를 가진 토릭 코드 상. 안정기를 측정할 확률($p_g$)이 증가함에 따라 자명한 상태에서 TC 상으로의 전이가 일어난다.
2. 임계점의 비대칭성: 정사각형 격자 TC와 달리, 삼각 격자 시스템은 자기 쌍대적이지 않다. 따라서 가둠 영역(X-측정이 지배적인 영역)과 힉스 영역(Z-측정이 지배적인 영역)으로부터 TC 상으로의 전이에 대한 임계 확률은 서로 다르다:
   • 가둠 $\to$ TC: $p_{gc}^x \approx 0.846 \pm 0.016$.
   • 힉스 $\to$ TC: $p_{gc}^z \approx 0.876 \pm 0.048$.
3. 임계 지수: 상관 길이 임계 지수 $\nu$는 두 전이 모두에서 약 $1.7$($\nu_x \approx 1.69, \nu_z \approx 1.74$)로 발견되었다. 이 값은 표준 2D 본드 퍼콜레이션(bond percolation)의 보편성 클래스($\nu = 4/3 \approx 1.33$) 및 3D 퍼콜레이션($\nu \approx 0.88$)과 크게 다르다.
4. 관측량의 디커플링 (Decoupling of Observables): 연구에서는 TEE, 스트링 무질서 매개변수, 그리고 논리 연산자가 약간씩 다른 $p_g$ 값에서 전이와 유사한 거동을 보이는 것을 관찰하였다. 이는 자기 쌍대성이 결여됨에 따라 서로 다른 상들(예: TC $\to$ 힉스 vs TC $\to$ 가둠) 사이에서 임계 거동의 "일치"가 동시에 발생하지 않음을 시사한다.
5. 퍼콜레이션의 역할: 시스템은 (안정기 공백의 성격으로 인해) 2D 본드 퍼콜레이션과 질적인 특징을 공유하지만, 임계 임계값은 삼각 및 허니콤 격자 상의 순수 퍼콜레이션 임계값과 구별된다. 저자들은 이를 경쟁적인 측정의 성격과 궤적 의존적(trajectory-dependent) 상태 진화 때문이라고 설명한다.

의의 및 주장
본 논문은 삼각 격자 상의 토릭 코드 MoC가 TEE, 1-형 대칭성 깨짐, 그리고 논리 큐비트의 출현 사이의 상호 관계를 분리하여 이해할 수 있는 적절한 "놀이터(playground)" 역할을 한다고 주장한다.

저자들은 다음과 같은 결과를 입증했다고 단언한다:

• 비자기 쌍대 MoC에서 서로 다른 위치와 임계 지수를 갖는 별개의 상전이가 존재함.
• 이러한 전이들의 임계 거동은 표준 2D 퍼콜레이션과 구별되는 보편성 클래스에 속하며, 이는 MoC 역학과 고전적 퍼콜레이션 사이의 단순한 매핑에 도전함.
• 안정기 형식론은 몬테카를로 시뮬레이션이 어려움을 겪을 수 있는 2D 모델에서 TEE와 비국소 상관 함수를 계산하는 정밀하고 효율적인 방법을 제공함.

이 연구는 관련 보편성 클래스를 확정적으로 식별했다고 주장하는 것이 아니라, 분류를 강력하게 제한하는 정량적 증거(임계 지수를 통해)를 제공한다. 저자들은 삼각 격자 TC MoC가 부분적인 애니온 응축이 위상 질서에 어떤 영향을 미치는지 명확히 함으로써, 컬러 코드(color code)와 같은 관련 안정기 코드의 상도표에 대한 독특한 관점을 제공한다고 강조한다.