Measurement-only circuit of perturbed toric code on triangular lattice: Topological entanglement, 1-form symmetry and logical qubits

Technische Samenvatting: Meet-only Circuit van een Geperturbeerde Toric Code op een Triangulair Rooster

Probleemstelling
De Toric Code (TC), een prototypische topologische stabilisatorcode, wordt traditioneel bestudeerd via het Hamiltoniaan-formalisme, waarbij de grondtoestanden en faseovergangen (bijv. tussen gedefinieerdeerde topologische, Higgs- en geconfineerde fasen) worden geanalyseerd onder invloed van externe velden. Hoewel de TC op een vierkant rooster goed begrepen is en zelf-duaal is, mist de TC op een triangulair rooster deze zelf-dualiteit en bipartiteit. Gevolgelijk kunnen de locaties van faseovergangen (zoals de condensatie van Wilson- versus 't Hooft-loops) verschillen, en de onderlinge relatie tussen topologische verstrengelingsentropie (TEE), 1-vorm symmetriebreking en het ontstaan van logische qubits is minder duidelijk.

Bovendien, hoewel Measurement-only Circuits (MoC)—waarbij kwantumtoestanden uitsluitend evolueren door sequenties van projectieve metingen—hebben aangetoond topologische orde te genereren, ontbreekt een systematisch begrip van faseovergangen in MoC's, met name op niet-zelf-duale roosters zoals het triangulaire rooster. Specifiek is er een behoefte om te bepalen of door MoC geïnduceerde overgangen behoren tot dezelfde universaliteitsklassen als hun Hamiltoniaanse tegenhangers, en hoe observabelen zoals TEE en wanordeparameters zich gedragen in deze niet-evenwichtssituatie.

Methodologie
De auteurs onderzoeken een MoC gedefinieerd op een triangulair rooster waarbij de projectieve meetoperatoren bestaan uit:

1. Stabilisatoren van de Toric Code: $A_s$ (star-operatoren, producten van $X_e$) en $B_p$ (plaquette-operatoren, producten van $Z_e$).
2. Competitieve Lokale Pauli-operatoren: Single-site $X_e$ en $Z_e$ metingen, die externe magnetische en elektrische velden representeren.

De studie maakt gebruik van een efficiënt stabilisator-formalisme (Gottesman-Knill theorem) om de tijdsevolutie van de kwantumtoestand te simuleren. Het circuit wordt geconstrueerd door deze metingen sequentieel toe te passen met specifieke waarschijnlijkheden ($p_x, p_z, p_g$), waarbij $p_g$ de waarschijnlijkheid is van het meten van de stabilisatoren en $p_x + p_z + p_g = 1$.

Belangrijke berekende observabelen zijn:

• Topologische Verstrengelingsentropie (TEE): Berekend met behulp van een specifieke partitie van hexagonale subsystemen om de universele constante $\gamma$ te extraheren.
• Wanordeparameters van 1-vorm Symmetrieën: Gedefinieerd via Rényi-2 correlatiefuncties van open string-operatoren ($W(r)$ voor $Z$-strings en $T(r)$ voor $X$-strings). Deze dienen als diagnostiek voor anyon-condensatie en de spontane symmetriebreking (SSB) van elektrische en magnetische 1-vorm symmetrieën.
• Logische Operatoren: Niet-contractabele lus-operatoren ($W_i, T_i$) die de viervoudig gedegenereerde grondtoestanden onderscheiden.

De auteurs maken gebruik van Finite-Size Scaling (FSS) analyse op systeemgroottes tot $L=24$ om kritieke punten ($p_{gc}$) te lokaliseren en kritieke exponenten ($\nu$) te extraheren.

Belangrijkste Resultaten

1. Fasediagram en Transities: De MoC vertoont duidelijke fasen: een triviale producttoestand (Higgs- of confinement-regimes afhankelijk van het dominante veld) en de topologisch geordende Toric Code-fase. De transitie van de triviale toestand naar de TC-fase vindt plaats naarmate de waarschijnlijkheid van het meten van de stabilisatoren ($p_g$) toeneemt.
2. Asymmetrie in Kritieke Punten: In tegen tegenstelling tot de zelf-duale vierkante rooster TC, is het triangulaire rooster systeem niet zelf-duaal. Bijgevolg zijn de kritieke waarschijnlijkheden voor de transitie van het confinement-regime (gedomineerd door $X$-metingen) en het Higgs-regime (gedomineerd door $Z$-metingen) naar de TC-fase verschillend:
   • Confinement $\to$ TC: $p_{gc}^x \approx 0.846 \pm 0.016$.
   • Higgs $\to$ TC: $p_{gc}^z \approx 0.876 \pm 0.048$.
3. Kritieke Exponenten: De correlatielengte kritieke exponent $\nu$ wordt gevonden te zijn ongeveer $1.7$($\nu_x \approx 1.69, \nu_z \approx 1.74$) voor beide transities. Deze waarde verschilt significant van de standaard 2D bond-percolatie universaliteitsklasse ($\nu = 4/3 \approx 1.33$) en 3D percolatie ($\nu \approx 0.88$).
4. Ontkoppeling van Observabelen: De studie observeert dat de TEE, string-wanordeparameters en logische operatoren een transitie-achtig gedrag vertonen bij licht verschillende waarden van $p_g$. Dit suggereert dat de "toevalligheid" van kritiek gedrag over verschillende fasen heen (bijv. TC naar Higgs versus TC naar Confined) niet simultaan optreedt vanwege het gebrek aan zelf-dualiteit.
5. Rol van Percolatie: Hoewel het systeem kwalitatieve kenmerken deelt met 2D bond-percolatie (vanwege de aard van de stabilizer-voids), zijn de kritieke drempelwaarden verschillend van zuivere percolatie-drempels op triangulaire en honeycomb roosters. De auteurs schrijven dit toe aan de competitieve aard van de metingen en de traject-afhankelijke evolutie van de toestand.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert dat de Toric Code MoC op een triangulair rooster dient als een geschikte "speeltuin" om de onderlinge relaties tussen TEE, 1-vorm symmetriebreking en het ontstaan van logische qubits te ontrafelen, die vaak verward worden in zelf-duale systemen.

De auteurs stellen dat hun resultaten het volgende aantonen:

• Het bestaan van afzonderlijke faseovergangen met verschillende locaties en kritieke exponenten in een niet-zelf-duale MoC.
• Dat het kritieke gedrag van deze transities behoort tot een universaliteitsklasse die afwijkt van standaard 2D percolatie, wat de eenvoudige mapping tussen MoC-dynamica en klassieke percolatie uitdaagt.
• Dat het stabilisator-formalisme een nauwkeurige en efficiënte methode biedt voor het berekenen van TEE en niet-lokale correlatiefuncties in 2D-modellen, waar Monte Carlo-simulaties vaak moeite hebben.

Het werk claimt niet dat het de exacte universaliteitsklasse definitief heeft geïdentificeerd, maar levert kwantitatief bewijs (via kritieke exponenten) dat deze classificatie sterk beperkt. Het benadrukt dat de triangulaire rooster TC MoC een uniek perspectief biedt op het fasediagram van verwante stabilizer-codes, zoals de color code, door te verhelderen hoe gedeeltelijke anyon-condensatie de topologische orde beïnvloedt.