Measurement-only circuit of perturbed toric code on triangular lattice: Topological entanglement, 1-form symmetry and logical qubits

技術要約：三角格子上の摂動を受けたトーリックコードの測定のみの回路

問題提起
トポロジカル・スタビライザー符号の典型的なモデルであるトーリックコード（TC）は、伝統的にハミルトニアン形式を用いて研究されており、外部場の下での基底状態や相転移（例：非局在化されたトポロジカル相、ヒッグス相、および閉じ込め相の間）が解析されている。正方格子上のTCはよく理解されており、自己双対性を有しているが、三角格子上のTCは自己双対性と二部グラフ性を欠いている。その結果、相転移（ウィルソン・ループと't Hooft・ループの凝縮など）の発生箇所が異なる可能性があり、トポロジカル・エンタングルメント・エントロピー（TEE）、1形式対称性の破れ、および論理量子ビットの出現に関する相互関係も、まだ十分に解明されていない。

さらに、量子状態が射影測定のシーケンスのみを通じて進化する測定のみの回路（MoC）は、トポロジカル秩序を生成することが示されているが、三角格子のような非自己双対格子におけるMoCの相転移に関する体系的な理解は不足している。具体的には、MoCによって誘起される転移が、そのハミルトニアン版と同じ普遍性クラスに属するかどうか、また、TEEや無秩序パラメータなどの観測量がこのような非平衡設定においてどのように振る舞うかを決定する必要がある。

手法
著者らは、以下の射影測定演算子からなる、三角格子上のMoCを調査している：

1. トーリックコードのスタビライザー： $A_s$（スター演算子、$X_e$の積）および $B_p$（プラケット演算子、$Z_e$の積）。
2. 競合的な局所パウリ演算子： 単一サイトの $X_e$ および $Z_e$ 測定。これは外部磁場および電場を表す。

本研究では、量子状態の時間発展をシミュレートするために、効率的なスタビライザー形式（ゴッテスマン・クニル定理）を採用している。回路は、特定の確率（$p_x, p_z, p_g$）を用いてこれらの測定を逐次的に適用することで構成される。ここで、$p_g$ はスタビライザーを測定する確率であり、$p_x + p_z + p_g = 1$ である。

計算される主な観測量は以下の通りである：

• トポロジカル・エンタングルメント・エントロピー（TEE）： ユニバーサルな定数 $\gamma$ を抽出するために、六角形のサブシステムを用いた特定の分割を用いて計算される。
• 1形式対称性の無秩序パラメータ： 開いたストリング演算子のレニー2次相関関数（$Z$ストリングの $W(r)$ および $X$ストリングの $T(r)$）を通じて定義される。これらは、エニオン凝縮および電気的・磁気的1形式対称性の自発的対称性の破れ（SSB）の診断として機能する。
• 論理演算子： 4重に縮退した基底状態を区別する非収縮ループ演算子（$W_i, T_i$）。

著者らは、最大 $L=24$ のシステムサイズに対する**有限サイズスケーリング（FSS）**解析を用いて、臨界点（$p_{gc}$）を特定し、臨界指数（$\nu$）を抽出している。

主要な結果

1. 相図と転移： MoCは、明確な相を示す。すなわち、自明な積状態（支配的な電場の種類に応じてヒッグス相または閉じ込め相となる）と、トポロジカル秩序を持つトーリックコード相である。自明な状態からTC相への転移は、スタビライザーを測定する確率（$p_g$）が増加するにつれて発生する。
2. 臨界点の非対称性： 正方格子のTCとは異なり、三角格子の系は自己双対ではない。その結果、閉じ込め領域（$X$測定が支配的）およびヒッグス領域（$Z$測定が支配的）からTC相への転移における臨界確率は異なる：
   • 閉じ込め $\to$ TC: $p_{gc}^x \approx 0.846 \pm 0.016$
   • ヒッグス $\to$ TC: $p_{gc}^z \approx 0.876 \pm 0.048$
3. 臨界指数： 相関長さの臨界指数 $\nu$ は、両方の転移において約 $1.7$（$\nu_x \approx 1.69, \nu_z \approx 1.74$）であることが判明した。この値は、標準的な2Dボンド・パーコレーションの普遍性クラス（$\nu = 4/3 \approx 1.33$）や3Dパーコレーション（$\nu \approx 0.88$）とは大きく異なっている。
4. 観測量のデカップリング： 本研究では、TEE、ストリング無秩序パラメータ、および論理演算子が、わずかに異なる $p_g$ の値で転移的な挙動を示すことが観察された。これは、自己双対性の欠如により、異なる相間（例：TCからヒッグス、またはTCから閉じ込め）での臨界挙動の「一致」が同時に起こらないことを示唆している。
5. パーコレーションの役割： システムは（スタビライザーの空隙の性質により）定性的な特徴を2Dボンド・パーコレーションと共有しているが、臨界閾値は純粋なパーコレーションの閾値（三角格子やハニカム格子上のもの）とは明確に異なる。著者らは、これを測定の競合的な性質と、状態の軌跡依存の進化に帰している。

意義と主張
本論文は、三角格子上のトーリックコードMoCが、自己双対な系ではしばしば混同されるTEE、1形式対称性の破れ、および論理量子ビットの出現の間の相互関係を解明するための適切な「遊び場」として機能すると主張している。

著者らは、以下のことを実証していると断言している：

• 非自己双対なMoCにおいて、異なる位置と臨界指数を持つ明確な相転移が存在すること。
• これらの転移の臨界挙動は、標準的な2Dパーコレーションとは異なる普遍性クラスに属しており、MoCのダイナミクスと古典的パーコレーションの単純なマッピングに疑問を投げかけていること。
• スタビライザー形式は、モンテカルロ・シミュレーションが困難な場合が多い2Dモデルにおいて、TEEおよび非局所的な相関関数を計算するための精密かつ効率的な手法を提供すること。

本研究は、正確な普遍性クラスを決定的に特定したと主張しているのではなく、その分類を強く制約する定量的な証拠（臨界指数を通じて）を提供している。また、三角格子TC MoCが、部分的なエニオン凝縮がどのようにトポロジカル秩序に影響を与えるかを明らかにすることで、カラーコードのような関連するスタビライザー符号の相図に対して独自の視点を提供することを強調している。