Gain-Scheduling Data-Enabled Predictive Control for Nonlinear Systems with Linearized Operating Regions

1. 문제 정의 (Problem Statement)

• 배경: 데이터 기반 예측 제어 (DeePC) 는 시스템 식별 없이 입력 - 출력 데이터의 행렬 (Hankel 행렬) 을 사용하여 제어 문제를 직접 해결하는 방법입니다. 그러나 기존 DeePC 는 선형 시불변 (LTI) 시스템을 가정하며, 강한 비선형성을 가진 시스템에서는 단일 전역 (Global) Hankel 행렬을 사용하는 것이 예측 정확도와 폐루프 성능을 저하시킵니다.
• 한계: 비선형성이 심한 경우, 단일 데이터 표현으로는 시스템의 모든 작동 영역을 정확하게 포착하기 어렵습니다. 기존에 제안된 비선형 확장 방법들 (예: LPV-DPC) 은 이론적 기반이 강하지만, 복잡한 모델링 (LPV 임베딩) 과 계산 오버헤드가 필요하거나, 사전 정의된 영역 없이 데이터를 선택하는 방식 (Select-DeePC) 은 온라인 데이터 선택의 복잡성과 지속성 (persistence of excitation) 보장에 어려움이 있습니다.
• 목표: 비선형 시스템을 제어하면서도 DeePC 의 데이터 기반 특성을 유지하고, 계산 효율성을 높이며, 작동 영역 간 전환 시 발생하는 진동 (chattering) 을 방지하는 새로운 프레임워크 개발.

2. 제안된 방법론: GS-DeePC (Gain-Scheduled DeePC)

이 논문은 이득 조정 (Gain-Scheduling) 개념을 DeePC 에 적용하여, 비선형 시스템을 여러 개의 국소 선형 (Locally Linear) 작동 영역으로 분할하고 각 영역별로 데이터를 구성하는 프레임워크를 제안합니다.

주요 구성 요소:

1. 작동 영역 분할 및 데이터 수집:

   • 측정 가능한 이득 조정 변수 (Scheduling variable, $\rho$) 의 작동 범위를 $n$ 개의 영역 ($M_i$) 으로 분할합니다.
   • 각 영역 내에서 충분히 풍부한 (persistently exciting) 입력 - 출력 데이터를 수집하여 해당 영역에 국한된 Hankel 행렬을 구성합니다.
   • 모자이크 Hankel 행렬 (Mosaic-Hankel Matrix): 각 영역 내에서 여러 데이터 시퀀스를 연결하여 하나의 포괄적인 행렬을 만듭니다.

2. 복합 영역 (Composite Regions) 도입:

   • 문제: 인접한 영역 간 전환 시 Hankel 행렬이 급격히 바뀌면 예측 궤적에 불연속성이 발생하고, 조정 변수가 경계 부근에서 진동할 때 제어기가 불안정해질 수 있습니다 (Chattering).
   • 해결책: 인접한 두 개의 선형화 영역 ($M_i, M_{i+1}$) 을 병합하여 복합 영역 ($C_i$) 을 생성합니다.
   • 데이터 병합: 두 인접 영역의 Hankel 행렬을 수평으로 연결하여 새로운 행렬을 만듭니다. 이는 인접한 두 영역의 데이터를 공유하게 하여 전환 시 예측기가 부드럽게 변하도록 합니다.
   • 히스테리시스 효과: 시스템이 현재 복합 영역의 경계를 벗어날 때까지 행렬을 유지함으로써, 경계 부근의 작은 진동으로 인한 빈번한 전환을 방지합니다.

3. 온라인 제어 및 스위칭 로직:

   • 현재 조정 변수 $\rho(k)$ 에 따라 활성화될 Hankel 행렬을 선택합니다.
   • 최적화 문제의 구조는 변경되지 않고, 데이터 행렬만 교체되므로 계산 복잡도는 표준 DeePC 와 동일합니다.
   • 스위칭 전략 비교:
     • 단순 영역 전환: 진동 발생 가능성 높음.
     • 체류 시간 (Dwell Time) 적용: 전환 지연 발생 가능.
     • 복합 영역 전환 (제안): 데이터 수준에서 중첩을 허용하여 가장 부드러운 전환과 진동 억제를 달성.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 구조화된 이득 조정 DeePC 프레임워크: 지역적 및 복합적 Hankel 행렬을 기반으로 하며, 인접 영역 간 진동을 억제하는 스위칭 로직을 포함합니다.
2. 실용적인 데이터 수집 및 구성 방법론: 영역 분할, 지속성 조건, 그리고 지역적 일관성을 가진 선형 데이터 표현을 위한 모자이크 - Hankel 행렬 구성 방법을 체계적으로 제시합니다.
3. 계산 효율성 및 성능 분석:
   • 전역 행렬 대신 짧은 국소 데이터 시퀀스만 필요하므로 계산 복잡도를 낮춥니다.
   • 비선형 DC 모터 실험을 통해 표준 DeePC 와 LPV-DPC 와의 성능 비교 및 선형화 영역 수에 대한 민감도 분석을 수행했습니다.

4. 실험 결과 (Results)

• 실험 대상: 불균형 디스크가 장착된 비선형 DC 모터 (각도 위치 추종 제어).
• 비교 대상: 표준 DeePC, LPV-DPC (Linear Parameter-Varying DPC).
• 성능 지표: 정상 상태 오차 (Steady-state RMSE) 와 과도 상태 오차 (Transient RMSE) 를 분리하여 평가.
• 주요 발견:
  • 표준 DeePC 대비 우위: 단일 전역 행렬을 사용하는 표준 DeePC 는 큰 정상 상태 오차를 보였으나, GS-DeePC 는 국소 선형화를 통해 정확도를 크게 향상시켰습니다.
  • LPV-DPC 와의 비교: GS-DeePC 는 LPV-DPC 와 거의 유사한 제어 성능 (정상 상태 오차 약 0.003) 을 달성했으나, LPV-DPC 와 달리 복잡한 LPV 임베딩이나 추가적인 조정 변수 경로가 필요하지 않아 구조가 더 단순합니다.
  • 복합 영역의 효과: 복합 영역을 사용하지 않은 경우 (단순 전환 또는 체류 시간만 적용) 경계 부근에서 진동이 관찰되었으나, 복합 영역을 사용한 GS-DeePC 는 매끄러운 전환과 진동 억제를 보여주었습니다.
  • 영역 수의 영향: 선형화 영역 수 ($n_C$) 가 증가할수록 성능이 향상되다가 일정 수준에서 수렴하는 경향을 보였습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance & Conclusion)

• 데이터 기반 제어의 비선형 확장: DeePC 를 비선형 시스템에 적용할 때, 복잡한 모델 식별 없이도 데이터 기반의 국소 선형화 접근법을 통해 고성능 제어가 가능함을 입증했습니다.
• 실용성: 계산 효율성이 높고 (작은 행렬 사용), 구현이 비교적 간단하며, LPV-DPC 와 같은 복잡한 방법론에 비해 실용적인 장점이 있습니다.
• 안정성 보장: 복합 영역 (Composite Regions) 을 통한 데이터 공유는 전환 시의 불연속성을 제거하여 폐루프 시스템의 안정성과 견고성을 보장합니다.
• 향후 연구 방향: 영역을 자동으로 병합하거나 분할하는 알고리즘 개발, 지역적 선형화 품질을 정량적으로 평가하는 지표 개발, 그리고 각 영역별 하이퍼파라미터 자동 튜닝 등이 필요합니다.

이 논문은 비선형 시스템 제어에 있어 데이터 기반 방법론과 고전적인 이득 조정 기법의 장점을 융합한 새로운 패러다임을 제시하며, 특히 복잡한 모델링 없이도 높은 성능을 달성할 수 있는 실용적인 솔루션을 제공합니다.