Gain-Scheduling Data-Enabled Predictive Control for Nonlinear Systems with Linearized Operating Regions

1. Problemstellung

Das Paper adressiert die Herausforderung, Data-Enabled Predictive Control (DeePC) auf nichtlineare Systeme anzuwenden.

• Hintergrund: Das klassische DeePC (basierend auf dem Fundamental Lemma von Willems) ist eine vollständig datengetriebene Methode, die für lineare zeitinvariante (LTI) Systeme entwickelt wurde. Es nutzt Hankel-Matrizen aus persistenz-erregenden Daten, um zukünftige Trajektorien vorherzusagen, ohne ein explizites parametrisches Modell zu benötigen.
• Limitierung: Bei stark nichtlinearen Systemen reicht eine einzige globale Hankel-Matrix, die den gesamten Betriebsbereich abdeckt, oft nicht aus. Dies führt zu einer Verschlechterung der Vorhersagegenauigkeit und der geschlossenen Regelkreis-Leistung.
• Ziel: Entwicklung eines Rahmens, der die Vorteile von DeePC (modellfrei, datengetrieben) mit dem etablierten Konzept des Gain-Schedulings (Verstärkungsplanung) kombiniert, um nichtlineare Dynamiken durch mehrere lokal lineare Approximationen zu handhaben.

2. Methodik: GS-DeePC Framework

Die Autoren schlagen ein Gain-Scheduled Data-Enabled Predictive Control (GS-DeePC) Framework vor. Der Kernansatz besteht darin, den Betriebsbereich einer messbaren Scheduling-Variable in mehrere Regionen zu unterteilen und für jede Region eine eigene Hankel-Matrix zu konstruieren.

Schlüsselschritte der Methodik:

1. Datenerfassung und Partitionierung:

   • Es werden Eingangs-Ausgangs-Trajektorien zusammen mit einer Scheduling-Variable $\rho(k)$ aufgezeichnet, die die dominierende Nichtlinearität parametrisiert.
   • Der Wertebereich von $\rho(k)$ wird in $n$ Regionen ($M_i$) unterteilt.
   • Für jede Region werden nur die Datenextrahiert, bei denen die Scheduling-Variable innerhalb der Grenzen dieser Region liegt.

2. Konstruktion regionaler Hankel-Matrizen:

   • Aus den extrahierten Daten werden für jede Region $M_i$ separate Hankel-Matrizen $H_i$ erstellt (Mosaik-Hankel-Matrizen, falls mehrere Sequenzen vorliegen).
   • Dies ermöglicht lokal konsistente lineare Darstellungen der nichtlinearen Dynamik.

3. Einführung kompositer Regionen (Composite Regions):

   • Um das Problem des „Chatterings" (schnelles Hin- und Herschalten zwischen benachbarten Regionen an den Grenzen) zu lösen, werden komposite Regionen $C_i$ eingeführt.
   • Eine komposite Region entsteht durch das Zusammenführen (Concatenation) der Daten und Hankel-Matrizen zweier benachbarter linearer Regionen ($M_i \cup M_{i+1}$).
   • Dies erzeugt überlappende Bereiche, die einen glatten Übergang zwischen den linearen Approximationen ermöglichen und die Diskontinuitäten in den Vorhersagen des Optimierers reduzieren.

4. Online-Schaltlogik:

   • Der Controller wählt basierend auf dem aktuellen Wert der Scheduling-Variable die aktive Hankel-Matrix aus.
   • Es werden verschiedene Strategien verglichen: einfaches Schalten, Schalten mit Verweilzeit (Dwell Time) und Schalten basierend auf kompositen Regionen. Die kompositen Regionen erweisen sich als robusteste Methode, da sie eine hysteresenartige Pufferzone bilden.

5. Optimierungsproblem:

   • Die Struktur des DeePC-Optimierungsproblems bleibt unverändert. Nur die Datenmatrizen ($U_p, Y_p, U_f, Y_f$) werden im Online-Betrieb gegen die Matrizen der aktuell aktiven (kompositen) Region ausgetauscht.
   • Dies ermöglicht eine einfache Implementierung ohne Änderung der Problemformulierung.

3. Wichtige Beiträge

• Strukturierte Erweiterung: Ein systematischer Ansatz zur Erweiterung von DeePC durch regionale und komposite Hankel-Matrizen mit einer Schaltlogik zur Unterdrückung von Chattering.
• Praktische Methodik: Eine klare Anleitung für Datenerfassung, regionale Partitionierung und die Konstruktion von Mosaik-Hankel-Matrizen für nichtlineare Systeme.
• Rechenkomplexität: GS-DeePC kann die Rechenkomplexität im Vergleich zu standard DeePC reduzieren, da für jede Region nur kurze, lokal informative Datensequenzen benötigt werden (kleinere Hankel-Matrizen), anstatt eine riesige Matrix für den gesamten nichtlinearen Bereich zu speichern.
• Umfassende Validierung: Experimente an einem nichtlinearen DC-Motor mit unausgewogener Scheibe, inklusive Sensitivitätsanalysen zur Anzahl der Linearisierungsregionen.

4. Ergebnisse

Die Methode wurde an einem nichtlinearen DC-Motor-Modell getestet und mit zwei Benchmarks verglichen:

1. Standard DeePC: Nutzt eine einzige globale Hankel-Matrix.
2. LPV-DPC (Linear Parameter Varying): Ein etablierter Ansatz, der eine LPV-Einbettung des Systems verwendet (hier als Referenz für hohe Leistungsfähigkeit).

Ergebnisse:

• Leistungssteigerung: GS-DeePC übertrifft das Standard-DeePC deutlich, insbesondere im stationären Zustand (niedrigerer RMSE). Die Genauigkeit steigt mit der Anzahl der Regionen ($n_C$), bis ein Plateau erreicht ist.
• Vergleich mit LPV-DPC: Mit einer ausreichend feinen Partitionierung (z. B. 16–23 komposite Regionen) erreicht GS-DeePC eine Leistung, die der komplexeren LPV-DPC-Methode nahezu entspricht (niedriger stationärer Fehler), jedoch mit einer einfacheren Formulierung und ohne die Notwendigkeit einer LPV-Einbettung.
• Schaltverhalten: Die Verwendung kompositer Regionen verhindert Chattering effektiv und sorgt für stabile Übergänge, während reine Schaltstrategien mit Verweilzeit (Dwell Time) zwar die Frequenz reduzieren, aber nicht vollständig das Rauschen in der Ausgangsgröße eliminieren.
• Recheneffizienz: Durch die Nutzung kleinerer, lokaler Hankel-Matrizen ist GS-DeePC rechnerisch effizienter als ein Standard-DeePC, das den gesamten nichtlinearen Bereich abdecken muss.

5. Bedeutung und Fazit

Das Paper zeigt, dass Gain-Scheduling und Data-Driven Control erfolgreich kombiniert werden können, um nichtlineare Systeme modellfrei zu regeln.

• Innovation: Die Einführung von kompositen Regionen ist ein entscheidender Durchbruch, der die Stabilität und Glätte des Regelkreises bei der Umschaltung zwischen lokalen Modellen sicherstellt, ohne auf komplexe Interpolationsmechanismen zurückgreifen zu müssen.
• Praktische Relevanz: Der Ansatz bietet eine robuste Alternative zu klassischen modellbasierten Gain-Scheduling-Methoden (die ein genaues Modell benötigen) und zu komplexen LPV-Erweiterungen von DeePC. Er ist besonders vorteilhaft, da er die Rechenlast senken kann und gleichzeitig hohe Vorhersagegenauigkeit in stark nichtlinearen Bereichen bietet.
• Zukunftsausblick: Die Autoren schlagen weitere Arbeiten vor, wie z. B. automatisierte Verfahren zum Zusammenführen oder Aufteilen von Regionen sowie eine regionenspezifische Feinabstimmung der Hyperparameter.

Zusammenfassend etabliert GS-DeePC einen kohärenten Rahmen, der die Vorteile datengetriebener prädiktiver Regelung mit der bewährten Stabilität des Gain-Schedulings für nichtlineare Systeme vereint.