Reversible viscoelasticity and irreversible elastoplasticity in the power law creep and yielding of gels and fibre network materials under stress

기술 요약: 겔 및 섬유 네트워크 재료의 멱법칙 크리프와 항복 현상에서 나타나는 가역적 점탄성 및 비가역적 탄소성

문제 제기
생물학적 세포골격, 하이드로겔부터 종이 및 콜로이드 겔에 이르기까지 네트워크 재료는 일정한 응력 하에서 변형률 속도가 $\dot{\gamma} \sim t^n$ ($n < 0$)으로 감소하며 변형이 아선형적으로 증가하는 멱법칙 크리프(power law creep)를 빈번하게 보인다. 이러한 거동은 연성 물질(soft matter)에서 보편적으로 나타나지만, 그 근저에 있는 물리적 메커니즘에 대해서는 여전히 논쟁 중이다. 특히, 멱법칙 크리프가 순수하게 가역적인 점탄성 변형(비어파인 재배열)에서 기인하는지, 아니면 비가역적인 탄소성 손상(결합 끊어짐)에서 기인하는지는 불분명하다. 나아가, 이러한 재료들이 느린 크리프로부터 급격한 항복 및 파괴로 전이되는 조건과, 하중을 제거했을 때 원래의 형상을 회복하는 정도를 체계적으로 규명할 필요가 있다. 본 연구는 비열적(athermal) 섬유 네트워크의 최소 계산 모델을 사용하여 이 질문들을 다룬다.

방법론
저자들은 $d=2$ 공간 차원의 최소 비열적 무질서 네트워크 모델에 대한 수치 시뮬레이션을 활용한다.

• 모델 구축: 이종 크기의 디스크를 무작위로 충전하고, 겹치는 중심들을 Hookean 스프링으로 연결한 뒤, 목표 평균 배위수 $Z$를 달-성하기 위해 반복적으로 가지치기(pruning)를 수행하여 네트워크를 생성한다. 각 스프링은 파손 변형률 $b$까지 선형 탄성을 가지며, 이를 초과하면 비가역적으로 끊어진다.
• 유변학적 프로토콜: 본 연구는 시뮬레이션에서 변형률 속도 제어 방식보다 덜 일반적인, 일정한 전단 응력 $\Sigma$를 부과하는 프로토콜을 사용한다.
• 수치 알고리즘: 일정한 응력을 유지하기 위해 저자들은 두 가지 알고리즘을 개발하고 검증하였다. 알고리즘 I은 목표 응력에 맞추기 위해 뉴턴-래프슨(Newton-Raphson) 방법을 통해 변형률 속도를 반복적으로 조정한다. 알고리즘 II는 가상의 뉴턴 유체 점도 $\eta$를 가진 용매를 도입하여 $\dot{\gamma} = (\Sigma - \sigma)/\eta$를 부과한다. 저자들은 $\eta \to 0$인 극한에서 두 알고리즘이 동일한 결과에 수렴함을 입증하였으며, 이후 더 효율적인 알고리즘 II를 $\eta = 0.16$의 값으로 사용하였다.
• 매개변수: 시뮬레이션은 $N=16,000$개의 노드를 대상으로 수행된다. 주요 변수는 네트워크 연결성 $Z$, 필라멘트 파손 임계값 $b$, 그리고 인가된 응력 $\Sigma$이다.

주요 기여 및 결과

1. 순수 점탄성 영역 (필라멘트 파손 없음):

   • 강성 네트워크 ($Z > 4$): 맥스웰 강성 임계값($Z > 2d = 4$) 이상의 네트워크는 장시간 동안 Hookean 고체처럼 행동하며, 정상 상태 변형률 $\gamma_{ss} \propto \Sigma$에 도달한다. 이때 발생하는 과도 크리프는 순수하게 비어파인(non-affine) 내부 변형에 의해 구동되는 점탄성 거동이다.
   • 유연한(Floppy) 네트워크 ($Z < 4$): 강성 임계값 미만의 네트워크는 매우 작은 응력에도 유한한 변형을 일으키는 '유연한' 반응을 보인다. 변형률 속도는 $\dot{\gamma} \sim t^{-2}$로 감소하며, 변형률은 일정한 값으로 포화된다.
   • 한계 연결성 ($Z \approx 4$): 한계 연결 네트워크($Z \gtrsim 4$)에서는 독특한 영역이 나타난다. 여기서 시스템은 결합 파손 없이도 장기간 동안 $\dot{\gamma} \sim t^{-0.5}$ 및 $\gamma \sim t^{0.5}$의 지속적인 멱법칙 크리프를 보이며, 이후 포화 상태에 도달한다. 이 거동은 순수하게 점탄성적이며, 결합 파손이 없는 비어파인 변형으로부터 기인한다.

2. 탄소성 영역 (필라멘트 파손 포함):

   • 하부 강성 겔에서의 멱법칙 크리프: 필라멘트 파손이 허용될 경우($b < \infty$), 멱법칙 크리프를 지원하는 조건의 범위가 확장된다. 구체적으로, 순수 점탄성 사례에서는 빠르게 포화되었을 초기 유연한 네트워크($Z < 4$)가 이제는 점진적인 탄소성 손상의 축적에 의해 구동되는 장기적인 멱법칙 크리프($-1 < n < 0$인 $\dot{\gamma} \sim t^n$) 영역을 나타낸다.
   • 항복 및 파괴: 응력이 임계 항복 응력 $\Sigma_y$를 초과하면, 네트워크는 지연 시간 $\tau_y$ 후에 격동적인 파괴를 겪는다. 항복 응력은 대략적으로 파손 임계값 $b$에 선형적으로 비례한다. 지연 시간 $\tau_y$는 응력이 $\Sigma_y$에 가까워질수록 급격히 증가한다.
   • 검증: 응력 부과 시뮬레이션에서 측정된 항복 응력은 변형률 부과 시작 시뮬레이션의 제로 변형률 속도 극한과 일치하며, 이는 측정된 항복점의 견고함을 확인시켜 준다.

3. 변형 회복:

   • 본 연구는 하중 제거 시의 회복 가능한 변형과 회복 불가능한 변형을 정량화한다.
   • 강성 네트워크 ($Z > 4$): 상당한 탄소성 손상이 축적되기 전에 응력을 제거하면 완전한 형상 회복이 일어난다. 놀랍게도, 일부 스프링이 파손되더라도 남은 연결성이 강성 임계값($Z > 4$)을 유지한다면 네트워크는 형상을 완전히 회복할 수 있다.
   • 유연한 네트워크 ($Z < 4$): 이 네트워크들은 반동에 필요한 탄성 백본(backbone)이 부족하기 때문에, 작은 변형에서도 부분적 혹은 전혀 회복되지 않는다. 결합 파손이 거의 없음에도 불구하고, 하중 인가 즉시 회복 불가능한 변형이 발생한다.

4. 손상 국부화:

   • 파괴 모드에 대한 시각적 분석은 뚜렷한 패턴을 보여준다. 초기 강성 네트워크의 경우, 탄소성 손상이 시스템 전체를 가로지르는 거시적인 밴드 형태로 국부화된다. 반면, 초기 유연한 네트워크에서의 손상은 재료 전체에 걸쳐 더 확산된 형태로 분포된다.

의의 및 주장
본 논문은 네트워크 재료에서 멱법칙 크리프를 생성할 수 있는 두 가지 뚜렷한 물리적 메커니즘을 식별했다고 주장한다.

1. 점탄성 메커니즘: 손상 없이 비어파인 변형에 의해 발생하는 한계 연결 네트워크($Z \gtrsim 4$)에서의 현상.
2. 탄소성 메커니즘: 결합 파손의 점진적인 축적에 의해 발생하는 하부 강성 네트워크($Z < 4$)에서의 현상.

저자들은 이 최소 모델에서 멱법칙 크리프를 설명하는 두 가지 메커니즘을 제시하지만, 이것이 다양한 실험적 소프트 물질에서 관찰되는 현상을 설명하는 유일한 메커니즘이라고 주장하지는 않는다. 대신, 광범위한 실제 시스템에서 멱법칙 크리프의 보편성에 기여할 수 있는 Rouse-like 사슬 운동, 프랙탈 네트워크 구조, 또는 열적 링커 역학(thermal linker dynamics)과 같은 다른 요인들이 존재할 수 있음을 겸허히 시사한다. 본 연구는 크리프 및 항복의 맥락에서 가역적 점탄성과 비가역적 탄소성을 구분하기 위한 계산적 프레임워크를 제공한다.