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Reversible viscoelasticity and irreversible elastoplasticity in the power law creep and yielding of gels and fibre network materials under stress

这项计算研究揭示了非热纤维网络在恒定应力下表现出截然不同的可逆粘弹性与不可逆弹塑性蠕变机制，其中边缘连通性和细丝断裂驱动了幂律变形动力学，并最终决定了材料的形状恢复能力或灾难性失效。

原作者： Michael J. Hertaeg, Suzanne M. Fielding

发布于 2026-01-23

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原作者： Michael J. Hertaeg, Suzanne M. Fielding

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，像凝胶或毛毡这样的材料，不要把它看作一个坚实的块状物，而要把它看作一个由无数微小的、有弹性的细绳组成的巨大且杂乱的蜘蛛网。这篇论文是一项计算机模拟研究，它提出了这样一个问题：如果你用恒定的力去拉扯这张网并保持住这个力，会发生什么？

研究人员想要了解两个主要问题：

这张网随时间推移是如何拉伸的？
它最终会在何时断裂？

以下是他们研究结果的简明类比说明。

设置：由细绳组成的网

科学家们构建了一个充满这些细绳的二维数字世界模型。

细绳： 它们的作用就像橡皮筋。如果你稍微拉伸它们，它们会回缩；如果你把它们拉得太远（超过了特定的“断裂点”），它们就会永久性地断裂。
连接点： 细绳在结处相互连接。连接在每个结上的细绳数量被称为“连接度”（ $Z$ $Z$ ）。
- 紧密的网 ( $Z > 4$ )： 每个结上有大量的细绳。这张网既僵硬又强韧。
- 松散的网 ( $Z < 4$ )： 每个结上的细绳较少。这张网是“松垮”且摇摆不定的。
- 恰到好处的网 ( $Z = 4$ )： 这是“临界”点，即这张网刚好能维持自身结构的平衡点。

实验：恒定的拉力

他们对这张网施加了一个稳定、不变的拉力（剪切应力），并观察其随时间的变化情况。他们测量了网的拉伸程度（应变）以及拉伸的速度（应变率）。

发现 1：“恰到好处”的网与神奇的拉伸

当网是僵硬的（连接很多）或非常松散（连接很少）时，拉伸行为是可预测的：

僵硬的网： 它会拉伸一点点，然后停止，稳定在一个形状上。
松散的网： 它会摇摆不定，拉伸很多，然后也会稳定下来。

但“恰到好处”的网 ( $Z=4$ ) 非常特殊。
当他们拉扯这种处于临界连接状态的网时，它并不会停止。它会以一种非常特定的、数学化的节奏持续进行拉伸。拉伸的速度随时间减慢，遵循一种“幂律”（power law）。

类比： 想象一个人在走廊里行走。普通人可能会走得快，然后慢下来，最后停下。而这种“恰到好处”的网就像一个永远在行走的人，只是他们的步伐变得越来越慢，且遵循着一种完美的、可预测的模式。研究人员发现，这是因为这张网正在以一种复杂的、非均匀的方式重新排列其内部的结，而不是因为有什么东西正在断裂。

发现 2：缓慢的泄漏与突然的断裂

研究人员随后允许细绳在被拉伸过长时断裂。这改变了一切。

缓慢的泄漏（弹性塑性蠕变）： 即便是在通常不会表现出那种特殊幂律拉伸的“松散”网中，允许细绳断裂也会产生一段长时间的缓慢、稳定的拉伸。随着网的拉伸，一些细绳断裂了。这破坏了网，使其变得更弱，进而导致它拉伸得更多，从而导致更多细绳断裂。
- 类比： 想象你反复弯曲一个回形针。起初它很容易弯曲。然后，经过几次弯曲后，产生了一个微小的裂纹。这个裂纹使得下一次弯曲变得更容易，进而使裂纹变大。最终，整个东西断裂了。在模拟中，这种“开裂”阶段可以持续很长时间，产生与“恰到好处”的网相同的“幂律”拉伸行为，但这一次是由损伤引起的，而非仅仅是重排。
突然的断裂（屈服）： 如果拉力足够强，网最终会达到一个“临界点”。在经历了长时间的缓慢拉伸和损伤积累后，网会突然发生灾难性的失效。
- 延迟： 拉力越强，断裂得越快。但如果拉力仅略低于断裂点，网可以在最终放弃之前维持相当长的一段时间。研究人员根据拉力的强度和单个细绳的强度，精确绘制出了这段“等待时间”的关系图。

发现 3：网能自我修复吗？（恢复）

最后，他们问道：如果我们停止拉扯，这张网会恢复到原始形状吗？

弹性部分： 如果网是僵硬的且细绳尚未断裂，它就像一根橡皮筋。当我们松手时，网会完美地弹回原始形状。
塑性部分： 如果网是松散的，或者已经有一些细绳断裂了，它就像一块粘土。当我们松手时，它会保持拉伸状态。由于损伤（断裂的细绳）是永久性的，它无法完全恢复。
惊喜之处： 即使在僵硬的网中，如果某些细绳断裂了，网也无法完全恢复。然而，如果这张网的连接足够紧密，以至于即使在一些细绳断裂后仍能保持“僵硬”，它仍然可以几乎完美地弹回。这就像一座桥：如果你丢掉几个螺栓，它可能仍能保持形状；如果你丢掉太多，它就会永久性地塌陷。

总结

这篇论文解释了为什么某些软材料（如凝胶或生物组织）会在断裂前长时间进行缓慢且可预测的拉伸。

机制 A： 如果材料处于完美的平衡状态（连接数恰到好处），它会由于内部重排而进行缓慢拉伸。
机制 B： 如果材料较弱或拉力较大，它会因为缓慢地自我破坏而进行缓慢拉伸。

这两种机制都会导致相同的“幂律”拉伸行为，但一种是可逆的（弹性），另一种是永久性损伤（塑性）。这项研究有助于解释为什么这些材料在恒定载荷下有时能维持很久，然后突然失效。

技术摘要：幂律蠕变与屈服过程中凝胶及纤维网络材料的可逆粘弹性与不可逆弹塑性

问题陈述
从生物细胞骨架、水凝胶到纸张和胶体凝胶，网络材料经常表现出恒定应力下的幂律蠕变，即应变率衰减为 $\dot{\gamma} \sim t^n$ （其中 $n < 0$ ），且应变呈亚线性增长。虽然这种行为在软物质领域普遍存在，但其背后的物理机制仍存在争议。具体而言，目前尚不清楚幂律蠕变是源于纯粹的可逆粘弹性变形（非仿射重排），还是源于不可逆的弹塑性损伤（键合断裂）。此外，这些材料在何种条件下会从缓慢蠕变转变为灾难性的屈服与失效，以及在卸载后在多大程度上能恢复其原始形状，都需要系统的表征。本研究利用一种极简的无热纤维网络计算模型来解决这些问题。

方法论
作者采用了二维空间下极简无热无序网络模型的数值模拟。

模型构建： 通过随机堆积双分散圆盘生成网络，将重叠中心连接为胡克弹簧，并通过迭代剪枝以达到目标平均配位数 $Z$ 。每个弹簧在达到失效应变 $b$ 之前表现为线性弹性，超过该阈值则发生不可逆断裂。
流变协议： 研究采用了恒定施加剪切应力 $\Sigma$ 的协议，这在模拟中不如恒定应变率协议常见。
数值算法： 为了保持恒定应力，作者开发并验证了两种算法。算法 I 通过牛顿-拉夫逊法迭代调整应变率以匹配目标应力。算法 II 通过引入具有粘度 $\eta$ 的虚构牛顿溶剂来施加应变率 $\dot{\gamma} = (\Sigma - \sigma)/\eta$ 。作者证明了两种算法在 $\eta \to 0$ 的极限下收敛于相同结果，随后使用了更高效的算法 II，并取 $\eta = 0.16$ 。
参数： 模拟包含 $N=16,000$ 个节点。关键变量包括网络连通性 $Z$ 、纤维断裂阈值 $b$ 以及施加的应力 $\Sigma$ 。

核心贡献与结果

纯粘弹性机制（无纤维断裂）：
- 刚性网络 ( $Z > 4$ )： 对于高于麦克斯韦刚性阈值 ( $Z > 2d = 4$ ) 的网络，材料在长时间尺度下表现为胡克固体，达到稳态应变 $\gamma_{ss} \propto \Sigma$ 。瞬态蠕变是纯粹的粘弹性行为，由非仿射内部变形驱动。
- 松弛网络 ( $Z < 4$ )： 低于刚性阈值的网络表现出“松弛”响应，即极小的应力即可诱发有限的应变。应变率衰减为 $\dot{\gamma} \sim t^{-2}$ ，且应变饱和为一个常数。
- 临界连通性 ( $Z \approx 4$ )： 对于临界连接的网络 ( $Z \gtrsim 4$ )，出现了一个独特的机制。在此情况下，系统在长时间内表现出持续的幂律蠕变 $\dot{\gamma} \sim t^{-0.5}$ 和 $\gamma \sim t^{0.5}$ ，随后趋于饱和。这种行为是纯粹的粘弹性，是由没有键合断裂的非仿射变形引起的。
弹塑性机制（含纤维断裂）：
- 亚刚性凝胶中的幂律蠕变： 当允许纤维断裂时 ( $b < \infty$ )，支持幂律蠕变的条件范围扩大了。具体而言，最初的松弛网络（在纯粘弹性情况下会表现出快速饱和）现在表现出由塑性损伤积累驱动的长时间幂律蠕变阶段（ $\dot{\gamma} \sim t^n$ ，其中 $-1 < n < 0$ ）。
- 屈服与失效： 对于应力超过临界屈服应力 $\Sigma_y$ 的情况，网络会在延迟时间 $\tau_y$ 后发生灾难性失效。屈服应力大致随断裂阈值 $b$ 线性缩放。随着 $\Sigma$ 从上方接近 $\Sigma_y$ ，延迟时间 $\tau_y$ 急剧增加。
- 验证： 在应力控制模拟中测得的屈服应力与应变控制启动模拟中零应变率极限的结果一致，证实了所测屈服点的鲁棒性。
应变恢复：
- 研究量化了卸载时的可恢复应变与不可恢复应变。
- 刚性网络 ( $Z > 4$ )： 如果在显著的塑性损伤积累之前移除应力，则可以实现完全的形状恢复。值得注意的是，即使有少量弹簧断裂，只要剩余连通性保持在刚性阈值之上 ( $Z > 4$ )，网络仍能完全恢复形状。
- 松弛网络 ( $Z < 4$ )： 这些网络即使在极小应变下也表现出部分或无恢复，因为它们缺乏用于回弹的弹性骨架。即使在几乎没有键合断裂的情况下，不可恢复的应变也会在加载时立即出现。
损伤局部化：
- 对失效模式的视觉分析揭示了不同的模式。在初始刚性网络中，塑性损伤局部化为横跨系统的宏观带；相比之下，初始松弛网络中的损伤在材料中呈弥散分布。

意义与主张
本文声称识别了产生网络材料幂律蠕变的两种不同物理机制：

粘弹性机制： 源于临界连接网络 ( $Z \gtrsim 4$ ) 中的非仿射变形，且不涉及损伤。
弹塑性机制： 源于亚刚性网络 ( $Z < 4$ ) 中键合断裂的渐进积累。

作者得出结论，虽然这两种机制可以在其极简模型中解释幂律蠕变，但他们并未声称这些是解释广泛存在的实验软物质中观察到的现象的唯一机制。他们谦逊地指出，其他因素（如 Rouse 式链运动、分形网络结构或热动力学连接子动态）也可能导致现实世界系统中幂律蠕变的普遍性。这项工作提供了一个计算框架，用于区分蠕变和屈服过程中的可逆粘弹性与不可逆弹塑性。