A Leader-Follower Approach for The Attitude Synchronization of Multiple Rigid Body Systems on $SO(3)$

기술 요약: SO(3) 상의 다중 강체 시스템의 자세 동기화를 위한 리더-팔로워 접근 방식

문제 정식화
본 논문은 $SO(3)$상에서 진화하는$N$개의 이종(heterogeneous) 강체 시스템의 리더-팔로워 자세 동기화 문제를 다룬다. 목표는 각 에이전트의 분산 제어 토크 $\tau_i$를 설계하여, 모든 강체가 일정한 원하는 방향 $R_0$로 자세를 동기화하고 각속도가 0으로 수렴하도록 하는 것이다. 이 문제의 결정적인 제약 조건은 원하는 자세 $R_0$가 단 하나의 에이전트(리더, 인덱스 1)에 대해서만 알려져 있으며, 나머지 에이전트들(팔로워)은 오직 국부적인 정보 교환만을 사용하여 동기화를 달성해야 한다는 점이다. 통신 토폴로지는 무방향성, 연결성 및 무사이클 그래프(트리)로 모델링된다. 시스템은 이종적이며, 이는 각 에이전트가 서로 다른 관성 행렬 $J_i$를 가짐을 의미한다.

방법론
제안된 솔루션은 오일러 각, 수정 로드리게스 파라미터(MRP) 또는 단위 쿼터니언과 같이 특이점(singularity)이나 비유일성(non-uniqueness) 문제를 겪는 매개변수화를 피하고, 회전 행렬 표현법에서 직접 작동하는 분산 제어 법칙을 활용한다.

1. 그래프 이론적 설정: 저자들은 안정성 분석을 용이하게 하기 위해 무방향 트리 그래프의 엣지(edge)들에 대한 가상 방향(virtual orientation)을 정의한다. 에이전트 $i$와 $j$를 연결하는 임의의 엣지 $k$에 대해, 상대 자세 $\bar{R}_k = R_j^\top R_i$가 정의된다.
2. 제어 법칙 설계: 각 에이전트 $i$에 대한 제어 토크 $\tau_i$는 국부적인 상대 자세 오차와 각속도 댐핑을 사용하여 다음과 같이 구성된다:
   $$\tau_i = -k_{\bar{R}_0}\psi(A_{1,0}R_0^\top R_1) - k_{\bar{R}}\sum_{j \in \mathcal{N}(i)}\psi(A_{i,j}R_j^\top R_i) - k_\omega \omega_i$$
   여기서 $\psi(\cdot)$는 Lie 대사(Lie algebra)로의 투영으로부터 유도된 $\mathbb{R}^3$로의 맵이며, $A_{i,j}$는 서로 다른 고윳값을 갖는 양의 정치 행렬(positive definite matrices)이고, $k$ 항들은 양의 이득(gain)이다. $R_0$를 포함하는 항은 리더(에이전트 1)에게만 활성화된다.
3. 안정성 분석:
   • 리야푸노프 함수(Lyapunov Function): 자세 오차 행렬의 트레이스(trace)와 시스템의 운동 에너지를 결합한 포텐셜 함수 $V$를 구성한다.
   • 라살의 불변성 원리(LaSalle's Invariance Principle): $V$의 시간 미분이 비양수($\dot{V} = -k_\omega \|\omega\|^2 \leq 0$)임을 보여준다. 이는 궤적이 $\dot{V}=0$인 최대 불변 집합으로 수렴함을 확립하며, 이는 $\omega = 0$임을 의미한다.
   • 평형점 특성: 분석을 통해 두 가지 평형 집합을 식별한다: 모든 자세가 $R_0$와 일치하는 원하는 집합 $\Xi_d$, 그리고 자세가 특정 축을 중심으로 $\pi$만큼 회전된 상태로 $R_0$와 일치하는 안장점(saddle points)을 포함하는 원치 않는 집합 $\Xi_u$이다.
   • 거의 전역적 안정성(Almost Global Stability): 체타예프 정리(Chetaev's theorem)를 사용하여 원치 않는 평형점들이 불안정함을 증명한다. 또한, 이 불안정한 점들 주변에서 시스템을 선형화하고 자코비안 행렬이 허수축 상에 고윳값을 갖지 않음을 입증함으로써, 저자들은 안정 다양체 정리(stable manifold theorem)를 호출하여 원치 않는 평형점의 안정 다양체의 르베그 측도(Lebesgue measure)가 0임을 증명한다. 결과적으로, 원하는 평형점은 거의 전역적으로 점근적 안정(almost globally asymptotically stable)하다.

주요 기여

• 직접적인 SO(3) 정식화: 본 논문은 MRP와 같은 국부 매개변수화의 특이점이나 단위 쿼터니언과 같은 비유일성 문제를 피하기 위해 $SO(3)$ 상에서 직접 회전 행렬을 다루는 제어 전략을 제안한다.
• 이종 시스템: 제어 법칙은 기존 연구들에서 흔히 완화되었던 조건인, 서로 다른 관성 행렬을 가진 이종 강체들을 위해 설계되었다.
• 트리 토폴로지: 본 방법은 안정성 증명을 위해 인시던스 행렬(incidence matrix)의 특정 구조를 활용하여, 무방향성, 연결성, 무사이클 그래프(트리)에 특화되어 있다.
• 국부 지식을 가진 리더-팔로워: 이 접근 방식은 참조 자세에 대한 전역적 지식이나 관측기를 요구하지 않고도, 단 하나의 에이전트만이 알고 있는 참조 자세로의 동기화를 성공적으로 달성한다.

결과
이론적 결과는 7개의 이종 강체 네트워크를 포함하는 수치 시뮬레이션을 통해 검증된다.

• 수렴성: 시뮬레이션 결과는 인접한 에이전트 간의 상대 자세가 항등 행렬(identity matrix)로 수렴하고, 모든 에이전트와 리더 사이의 상대 자세가 항등 행렬로 수렴함을 보여준다.
• 속도 댐핑: 모든 각속도가 0으로 수렴한다.
• 성능: 시스템은 이종 관성 행렬과 다양한 초기 조건에도 불구하고 일정한 원하는 자세 $R_0$로 성공적으로 동기화되며, 이는 거의 전역적 점근적 안정성 보장을 확인시켜 준다.

의의 및 주장
본 논문은 거의 전역적 점근적 안정성 보장을 갖춘 $SO(3)$상의 리더-팔로워 자세 동기화 문제에 대한 엄밀한 솔루션을 제공한다고 주장한다. 저자들은 기존 문헌들이 종종 국부 매개변수화(끌림 영역을 제한함)나 단위 쿼터니언(모호성을 도입함)에 의존하거나, 국부적 수렴 결과만을 제공한다는 점을 강조한다. 이와 대조적으로, 본 연구는$SO(3)$의 고유한 기하학적 구조를 존중하며 거의 모든 초기 조건으로부터 수렴을 보장하는 제어 전략을 제시한다.

저자들은 현재의 연구가 일정한 원하는 자세와 무사이클(트리) 통신 그래프로 제한되어 있음을 언급하였다. 그들은 시변(time-varying) 원하는 자세, 통신 지연, 그리고 더 일반적인 그래프 토폴로지로의 확장이 향후 연구를 위한 도전적인 과제임을 밝히고 있다.