A Leader-Follower Approach for The Attitude Synchronization of Multiple Rigid Body Systems on $SO(3)$

技术摘要：一种基于 $SO(3)$ 上多刚体系统姿态同步的领导者-跟随者方法

问题描述
本文研究了在特殊正交群 $SO(3)$上演化的$N$个异构刚体系统的领导者-跟随者姿态同步问题。目标是为每个智能体设计分布式控制转矩$\tau_i$，使得所有刚体能够将其姿态同步至一个常数期望取向$R_0$，且其角速度收敛至零。该问题的一个关键约束是，期望姿态$R_0$仅由单个智能体（领导者，索引为 1）已知，而其余智能体（跟随者）必须仅通过局部信息交换来实现同步。通信拓扑被建模为一个无向、连通且无环的图（树）。系统是异构的，这意味着它们具有不同的惯性矩阵$J_i$。

方法论
所提出的方案利用了一种直接作用于姿态旋转矩阵表示的分布式控制律，避免了使用欧拉角、修正罗德里格斯参数（MRPs）或单位四元数等参数化方法，因为这些方法存在奇异性或非唯一性问题。

1. 图论设置： 作者为无向树图的边定义了虚拟取向，以促进稳定性分析。对于连接智能体 $i$ 和 $j$ 的任意边 $k$，定义相对姿态 $\bar{R}_k = R_j^\top R_i$。
2. 控制律设计： 每个智能体 $i$ 的控制转矩 $\tau_i$ 利用局部相对姿态误差和角速度阻尼构建而成：
   $$\tau_i = -k_{\bar{R}_0}\psi(A_{1,0}R_0^\top R_1) - k_{\bar{R}}\sum_{j \in \mathcal{N}(i)}\psi(A_{i,j}R_j^\top R_i) - k_\omega \omega_i$$
   其中，$\psi(\cdot)$ 是由投影到李代上导出的从 $so(3)$到$\mathbb{R}^3$的映射，$A_{i,j}$是具有不同特征值的正定矩阵，$k$项为正增益。涉及$R_0$ 的项仅对领导者（智能体 1）有效。
3. 稳定性分析：
   • 李雅普诺夫函数： 构建了一个结合了姿态误差矩阵的迹与系统动能的势函数 $V$。
   • LaSalle 不变原理： 证明了 $V$ 的时间导数是非正的 ($\dot{V} = -k_\omega \|\omega\|^2 \leq 0$)。这确立了轨迹将收敛到 $\dot{V}=0$ 的最大不变集，意味着 $\omega = 0$。
   • 平衡点表征： 分析识别了两类平衡点：所有姿态与 $R_0$ 对齐的期望集合 $\Xi_d$，以及包含姿态绕特定轴旋转 $\pi$ 后与 $R_0$ 对齐的鞍点的不期望集合 $\Xi_u$。
   • 几乎全局稳定性： 利用 Chetaev 定理，证明了这些不期望的平衡点是不稳定的。此外，通过在这些不稳定点附近对系统进行线性化，并证明雅可比矩阵不具备虚轴上的特征值，作者援引稳定流形定理证明了不期望平衡点的稳定流形的勒贝格测度为零。因此，期望平衡点是几乎全局渐近稳定的。

主要贡献

• **直接 $SO(3)$公式化：** 本文提出了一种控制策略，通过直接在$SO(3)$ 上处理旋转矩阵，避免了局部参数化（如 MRPs）带来的奇异性以及单位四元数（非唯一性）的问题。
• 异构系统： 控制律是为具有不同惯性矩阵的异构刚体设计的，这一条件在以往的研究中通常被简化处理。
  এটি
• 树形拓扑： 该方法专门针对无向、连通、无环的图（树）进行了定制，利用了关联矩阵的特定结构来证明稳定性。
• 具有局部知识的领导者-跟随者模型： 该方法成功实现了向仅由单个智能体已知的参考姿态同步，而无需全局知识或对参考姿态的观测器。

结果
通过涉及 7 个异构刚体网络的数值模拟验证了理论结果。

• 收敛性： 模拟结果表明，相邻智能体之间的相对姿态收敛至单位矩阵，且所有智能体与领导者之间的相对姿态也收敛至单位矩阵。
• 速度阻尼： 所有角速度均收敛至零。
• 性能： 尽管存在异构惯性矩阵和多样化的初始条件，系统仍成功同步至常数期望姿态 $R_0$，证实了几乎全局渐近稳定性保证。

意义与主张
本文声称为 $SO(3)$上的领导者-跟随者姿态同步问题提供了一个严谨的解决方案，并具有**几乎全局渐近稳定性保证**。作者强调，现有文献通常依赖于局部参数化（限制了吸引域）或单位四元数（引入歧义），或者仅提供局部收敛结果。相比之下，这项工作尊重$SO(3)$ 的内在几何结构，并确保从几乎所有初始条件实现收敛。

作者指出，目前的工作仅限于常数期望姿态和无环（树）通信图。他们指出，将该方法扩展到时变期望姿态、通信延迟以及更一般的图拓扑结构是未来研究中具有挑战性的开放问题。