ReLU Barrier Functions for Nonlinear Systems with Constrained Control: A Union of Invariant Sets Approach

1. 문제 정의 (Problem Statement)

비선형 제어 시스템, 특히 로봇 공학 및 자율 주행과 같은 안전이 중요한 분야에서 입력 제약 (Input Constraints, 예: 포화 현상) 하에 안전성을 보장하는 것은 매우 어렵습니다.

• 주요 난제:
  1. 입력 제약으로 인한 실행 불가능성: 포화 (Saturation) 로 인해 안전을 유지하는 제어 입력이 존재하지 않을 수 있습니다.
  2. 보수성 (Conservatism) 과 계산 복잡도: 기존 제어 장벽 함수 (CBF) 합성 방법 중 많은 부분이 선형적인 확장 클래스-K 함수 ($\alpha(\cdot)$) 를 사용하여 볼록 최적화 (Convex Optimization) 를 가능하게 하지만, 이로 인해 인증된 안전 영역 (Invariant Set) 이 실제 가능한 영역보다 훨씬 작아지는 보수적인 결과를 초래합니다.
  3. 비선형성: 비선형 시스템에서 입력 제약 하에 유효한 CBF 를 직접 합성하는 것은 일반적으로 비볼록 (Nonconvex) 최적화 문제가 되어 계산적으로 처리하기 어렵습니다.

2. 제안된 방법론 (Methodology)

저자들은 근사 - 검증 파이프라인 (Approximation-Verification Pipeline) 을 제안하여 비선형 시스템에 대한 CBF 합성을 볼록 최적화 문제로 변환하면서도 보수성을 줄이는 방법을 제시합니다.

A. 핵심 접근법

1. PWA (Piecewise-Affine) 대리 모델 (Surrogate):
   • ReLU 신경망과 연속 PWA 함수의 동치성을 활용합니다.
   • 비선형 폐루프 동역학을 PWA 대리 모델로 근사화하여, 선형 계획법 (LP) 기반의 장벽 함수 합성을 수행합니다.
2. Leaky ReLU 를 활용한 $\alpha(\cdot)$ 설계:
   • 기존 선형 $\alpha(s) = \alpha s$ 대신 두 기울기를 가진 Leaky ReLU를 확장 클래스-K 함수로 사용합니다.
   • 이는 비선형성을 반영하여 보수성을 줄이면서도, 최적화 문제의 비볼록성을 피하기 위해 'Union of Invariant Sets' 기법과 결합됩니다.
3. 불변 집합의 합집합 (Union of Invariant Sets, UIS):
   • 서로 다른 선형 기울기 ($\alpha_i$) 를 가진 여러 개의 CBF 를 각각 LP 로 합성합니다.
   • 각 CBF 에 대응하는 불변 집합을 최대 합성 (Max-composition, $h(x) = \max_i h_i(x)$) 으로 결합하여 하나의 큰 안전 영역을 형성합니다.
   • 이 과정은 추가적인 최적화 비용 없이 기존 LP 해를 재사용하여 수행됩니다.
4. 면별 검증 (Facet-wise Verification) 및 국소 불확실성 업데이트:
   • 합성된 PWA 장벽 함수가 원래 비선형 시스템에서도 안전 조건을 만족하는지 검증합니다.
   • Farkas 보조정리를 사용하여 입력 제약 하에 제어 입력이 존재하는지 면 (Facet) 단위로 정밀하게 검증합니다.
   • 검증 실패 시 (Counterexample 발견), 해당 국소 영역의 모델 오차를 국소 불확실성 집합 ($\Delta_j$) 으로 추가하고 LP 를 재해결하여 장벽 함수를 수정합니다. 이는 전역적인 보수적인 불확실성 설정을 피합니다.

B. 알고리즘 흐름

1. 근사: ReLU NN 을 통해 비선형 동역학을 PWA 모델로 근사.
2. 합성: UIS 기법을 사용하여 여러 $\alpha$ 값에 대해 PWA 장벽 함수를 LP 로 합성.
3. 확대: 합성된 장벽 함수들을 Max-composition 하여 안전 영역을 확대.
4. 검증: 원래 비선형 시스템에서 입력 제약 하에 CBF 조건이 면별로 만족되는지 확인.
5. 수정: 검증 실패 시 국소 불확실성 업데이트 후 LP 재해결.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. Leaky ReLU 기반 $\alpha(\cdot)$ 설계:
   • 선형 $\alpha$ 의 보수성을 줄이면서도 이차원 비선형성 (Bilinear nonconvexity) 을 피할 수 있는 두 기울기 설계를 제안했습니다.
2. 불변 집합의 합집합 (UIS):
   • 여러 개의 LP 기반 불변 집합을 최대 합성 (Max-composition) 으로 결합하여, 단일 $\alpha$ 설계보다 크거나 같은 안전 영역을 추가 최적화 비용 없이 보장합니다.
3. 근사 - 검증 파이프라인:
   • PWA 대리 모델에서의 볼록 합성과 국소 불확실성 업데이트를 통한 원래 비선형 시스템의 엄격한 안전성 보장을 연결하는 체계적인 프로세스를 제시했습니다.

4. 실험 결과 (Results)

pendulum(진자) 및 cart-pole(카트 - 폴) 시스템에 대한 시뮬레이션을 통해 방법론의 유효성을 입증했습니다.

• Inverted Pendulum:
  • UIS 를 적용한 결과, 단일 $\alpha$ 설계나 기존 방법 [12] 보다 더 큰 불변 집합을 인증했습니다.
  • 계산 시간은 46 초 (합성 34 초 + 검증 12 초) 로 효율적이었습니다.
• Barrier Certificate Verification (비선형 시스템):
  • 기존 논문 [7], [8] 의 방법 (깊은 신경망 사용, 수백 초~수 시간 소요) 과 비교하여, 단층 ReLU(20 개 뉴런) 만으로도 더 넓은 안전 영역을 80 초 내에 인증했습니다.
  • SyntheBC [8] 와 유사한 커버리지를 보이면서도 계산 효율성이 훨씬 뛰어났습니다.
• Cart-Pole with Input Saturation (4 차원 시스템):
  • 입력 포화 ($\pm 30$ N) 가 있는 4 차원 비선형 시스템에서도 UIS 를 적용하여 성공적으로 안전 영역을 인증했습니다.
  • 총 계산 시간은 약 1,466 초였으며, 이는 고차원 비선형 시스템에 대한 확장 가능성을 보여줍니다.

5. 의의 및 결론 (Significance & Conclusion)

• 볼록 최적화의 유지: 비선형 시스템과 입력 제약이라는 어려운 조건 하에서도 CBF 합성을 볼록 최적화 (LP) 문제로 유지할 수 있게 하여 계산 효율성을 확보했습니다.
• 보수성 감소: 선형 $\alpha$ 함수의 한계를 극복하고, UIS 기법을 통해 실제 가능한 안전 영역을 최대한 크게 인증할 수 있게 되었습니다.
• 실용성: 모델 불일치를 전역적으로 가정하는 대신 국소적으로 업데이트하는 방식을 도입하여, 불필요한 보수성을 제거하면서도 엄격한 안전성 보장을 제공합니다.

이 연구는 안전이 중요한 제어 시스템에서 계산 가능성 (Tractability) 과 안전성 보장 (Safety Guarantee) 사이의 균형을 맞추는 새로운 패러다임을 제시하며, 고차원 비선형 시스템으로의 확장 가능성을 열어주었습니다.