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ReLU Barrier Functions for Nonlinear Systems with Constrained Control: A Union of Invariant Sets Approach

该论文提出了一种结合分段线性代理模型与两斜率 Leaky ReLU 函数的近似验证流程，通过联合不变集方法有效解决了非线性系统在控制饱和约束下的安全认证难题，并在仿真中实现了比传统线性设计更大的不变集。

原作者： Pouya Samanipour, Hasan A. Poonawala

发布于 2026-03-17

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原作者： Pouya Samanipour, Hasan A. Poonawala

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇论文提出了一种让机器人（比如自动驾驶汽车或机械臂）在有严格限制的情况下也能安全运行的新方法。

为了让你轻松理解，我们可以把这个问题想象成**“在一个充满障碍物的房间里，教一个蒙着眼睛的机器人如何不撞墙”**。

1. 核心难题：为什么这很难？

想象一下，你给机器人下达指令：“往左走，保持安全距离”。

非线性系统：机器人的动作很复杂，不是简单的“推一下走一步”，而是像骑自行车一样，速度越快转弯越难，动作之间有复杂的相互作用。
输入约束（饱和）：这是最麻烦的。机器人的电机有极限，就像你跑步有最大速度，或者方向盘有最大转角。如果机器人需要“向左转 90 度”才能避开墙，但它的方向盘只能转 45 度，那它就无法执行这个安全指令，可能会撞墙。

以前的方法要么太保守（为了绝对安全，只让机器人走很小的一块区域，像被关在笼子里），要么计算太复杂（算不出来）。

2. 论文的三个“魔法道具”

作者设计了一套流程，用了三个聪明的策略来解决这个问题：

道具一：用“折线图”代替“复杂曲线” (PWA 代理模型)

比喻：想象你要画一条平滑的曲线（真实的机器人运动），但这太难算了。于是，你决定用很多段直的线段（折线）去拼凑这条曲线。

做法：他们把机器人的复杂运动切分成很多小块，每一块里都用简单的直线来近似。
好处：直线很容易算（就像做小学数学题），这样就能快速找到一条“安全路线”。虽然这是近似，但足够接近真实情况。

道具二：用“双速刹车”代替“单速刹车” (Leaky ReLU 代理)

比喻：以前，我们给安全规则设定一个固定的“减速系数”（比如：离墙越近，减速越快，且比例固定）。但这太死板了。

做法：作者设计了一种**“双速刹车”**机制（Leaky ReLU）。
- 当机器人离墙很远时，刹车很“松”，让它跑得快一点（效率高）。
- 当机器人靠近危险区时，刹车瞬间变“紧”，强制它减速（保安全）。
- 甚至在它已经碰到危险线时，也留有一点点“弹性”（Leaky 部分），而不是完全死板地卡住。
好处：这种灵活的规则比死板的直线规则能覆盖更大的安全区域，让机器人能去更多地方。

道具三：把“多个安全区”拼成“超级安全区” (UIS 联合不变集)

比喻：想象你让机器人尝试了三种不同的刹车策略，得到了三个不同的安全区域（像三个不同形状的泡泡）。

旧方法：只能选其中最大的一个泡泡，把另外两个扔掉，太浪费了。
新方法 (UIS)：作者说，把这三个泡泡全部拼起来！只要机器人待在任何一个泡泡里，它就是安全的。
做法：通过一种数学上的“取最大值”操作，把多个小安全区无缝拼接成一个巨大的、形状不规则的超级安全区。
好处：机器人的活动范围变大了，而且不需要额外的计算成本，只是把之前的结果“拼”了一下。

3. 最后的“质检员”：验证与修正

虽然用了“折线”和“拼凑”的方法，但我们怎么保证机器人真的不会在真实世界里撞墙呢？

分块检查 (Facet-wise Verification)：
想象那个巨大的“超级安全区”是由很多个小平面（像多面体的面）组成的。质检员不需要检查整个球体，只需要检查每一个小平面的边缘。
局部修正 (Local Uncertainty Update)：
如果在某个小平面边缘发现：“哎呀，这里真实的机器人可能会撞墙！”
- 旧方法：可能整个计划都要推翻重来。
- 新方法：只给那个特定的小平面贴上一张“修正贴纸”（增加一点安全余量），然后重新算一下。其他地方不用动。
- 比喻：就像修路，哪一段坑洼就只修哪一段，不用把整条路挖了重铺。

4. 总结：这有什么用？

这篇论文就像给机器人装了一套**“智能安全导航系统”**：

算得快：用简单的折线代替复杂曲线，让电脑能瞬间算出方案。
管得宽：用灵活的刹车和拼接技术，让机器人能在更大的范围内自由行动，而不是被关在小笼子里。
很靠谱：最后通过严格的“分块质检”和“局部修补”，确保即使在电机力量有限（输入受限）的情况下，机器人也绝对不会撞车。

实际效果：
作者在倒立摆（像杂技演员顶杆）和机械臂小车（Cart-Pole）上做了测试。结果显示，他们的方法能让机器人在更复杂的动作下保持安全，而且计算时间完全在可接受范围内。

简单来说，就是让机器人在“戴着镣铐”（输入受限）的情况下，依然能跳出更大、更优美的“安全舞蹈”。

论文技术总结：基于 ReLU 屏障函数与不变集并集的非线性系统受控约束安全认证

1. 研究背景与问题定义

在机器人和自动驾驶等安全关键领域，确保非线性系统在多面体输入约束（如执行器饱和）下的安全性至关重要。控制屏障函数（CBF）是提供形式化安全保证的核心工具，但在实际应用中面临两大挑战：

输入约束导致可行控制消失：饱和约束可能使得在安全边界上不存在能够维持轨迹安全的控制输入。
保守性与可处理性的权衡：传统的 CBF 合成方法通常假设已知安全集，或者在合成 $h(x)$ 时，扩展类 K 函数 $\alpha(\cdot)$ 的选择往往在计算可处理性（凸性）和集合保守性之间做出妥协。线性 $\alpha(\cdot)$ 虽然能保持凸优化，但往往导致认证的安全集过小；而非线性 $\alpha(\cdot)$ 虽能扩大集合，却常引入非凸性，导致计算困难。

此外，现有的基于机器学习的方法（如神经 CBF）通常依赖非凸训练和昂贵的验证过程，且难以在输入饱和下提供凸合成保证。

本文目标：为受输入约束的非线性系统合成 CBF，在保持凸合成（Convex Synthesis）可处理性的同时，显著减少保守性，扩大认证的安全不变集。

2. 核心方法论

本文提出了一种**“近似 - 验证”（Approximation-Verification）流水线**，主要包含以下关键步骤：

2.1 基于 PWA 代理模型的凸合成

代理模型：利用 ReLU 神经网络与连续分段仿射（PWA）函数的等价性，将非线性闭环动力学近似为 PWA 模型。
凸优化合成：在 PWA 代理模型上，通过线性规划（LP）合成 CBF。该方法避免了直接处理非线性系统带来的非凸问题。

2.2 双斜率 Leaky ReLU 代理函数

为了克服线性 $\alpha(\cdot)$ 的保守性，同时避免任意非线性函数的优化复杂性，作者提出使用双斜率 Leaky ReLU 作为 $\alpha(\cdot)$ 的代理。
理论保证：证明了任何由广义 K 类函数 $\alpha \in \mathcal{K}_\infty$ 认证的安全集，也可以由这种双斜率 Leaky ReLU 函数认证。这允许在优化中使用两个可调参数（正负斜率），在保持凸性的同时更灵活地拟合非线性行为。

2.3 不变集并集（Union of Invariant Sets, UIS）

核心创新：直接编码 Leaky ReLU 到优化问题中会破坏凸性。为此，作者提出了 UIS 方法：
1. 针对多个不同的线性 $\alpha(x) = \gamma x$ 分别求解凸优化问题，得到多个不变集 $S^{(i)}$ 。
2. 通过**最大组合（Max-composition）**将这些不变集对应的屏障函数合并： $h(x) = \max_i \{h^{(i)}(x)\}$ 。
3. 几何意义：UIS 认证的集合是多个线性 $\alpha$ 设计所得集合的并集。
优势：
- 认证区域永远不会小于单个最佳线性 $\alpha$ 设计的区域。
- 无需额外优化成本：直接复用已有的 LP 解，仅进行简单的最大组合操作。

2.4 分面验证与局部不确定性更新

由于代理模型（PWA）与真实非线性系统存在误差，需进行严格验证：

分面验证（Facet-wise Verification）：利用 CBF 的 PWA 特性，将零水平集分解为有限个“分面片”（Facet patches）。仅在边界分面上利用 Farkas 引理 检查是否存在满足 CBF 条件的控制输入，而非在整个域上检查，极大提高了效率。
局部不确定性更新：如果验证失败（发现反例），不重新学习整个动力学模型，而是计算反例处的模型误差，仅在受影响的局部单元（Cell）内更新不确定性集 $\Delta_j$ ，然后重新求解凸规划。这种**“求解 - 验证 - 更新”**的循环确保了最终 CBF 对原始非线性系统的安全性。

3. 主要贡献

Leaky ReLU 代理设计：提出了一种双斜率 Leaky ReLU 作为 $\alpha(\cdot)$ 的实用选择，既避免了双线性非凸性，又比线性 $\alpha$ 显著减少了保守性。
不变集并集（UIS）框架：提出了一种通过最大组合多个 LP 基不变集来扩大认证区域的方法。该方法无需额外优化成本，即可保证认证区域不小于最佳单一 $\alpha$ 选择。
近似 - 验证流水线：建立了一套完整的流程，将基于 PWA 代理的凸合成与分面验证及局部不确定性更新相结合，成功将安全保证从代理模型扩展到受约束的非线性系统。

4. 实验结果

作者在三个案例中验证了方法的有效性（Python 实现，8GB RAM）：

倒立摆（Inverted Pendulum）：在输入饱和下，UIS 方法生成的不变集严格大于任何单一 $\alpha$ 设计的结果，且计算时间可控（总计 46 秒）。
屏障证书验证（非线性系统）：与现有的 SOS（平方和）方法和深度神经 CBF 方法相比，本文方法使用更浅的网络（20 个神经元），在更短的时间内（80 秒）认证了更大的安全集，且覆盖范围与 SyntheBC 相当。
带输入饱和的倒立摆小车（Cart-Pole）：在 4 维非线性动力学和强输入饱和（[-30, 30] N）下，成功认证了不变集。尽管计算量较大（约 1466 秒），但证明了该方法可扩展到更高维系统。

关键数据：表 I 显示，所有案例中，UIS 计算与验证的总时间均在可接受范围内，且认证的安全集面积显著优于线性 $\alpha$ 设计。

5. 意义与结论

理论突破：解决了在输入约束下非线性系统 CBF 合成的凸性与保守性矛盾。通过 UIS 和 Leaky ReLU 代理，实现了“凸优化”与“大安全集”的兼得。
工程价值：提出的“求解 - 验证 - 更新”机制提供了一种可扩展、可修正的自动化安全认证流程，无需昂贵的非凸训练或全局不确定性建模。
未来展望：该方法为高维非线性系统的安全控制提供了新的范式，未来可进一步探索与预测控制（MPC）的集成及更高维系统的扩展。

总结：本文通过结合 PWA 代理、Leaky ReLU 函数设计、不变集并集策略以及局部不确定性更新，成功构建了一个高效、低保守且具备严格数学保证的非线性系统安全认证框架。