A note on input signal generators: A relaxation of Willems' fundamental lemma in the SISO case

1. 연구 배경 및 문제 제기 (Problem)

• 윌렘스의 기본 보조정리 (Willems' Fundamental Lemma): 이산시간 선형 시불변 (LTI) 시스템에서, 충분히 높은 차수의 지속적 여기 (Persistency of Excitation, PE) 조건을 만족하는 입력 신호를 적용하면, 수집된 입출력 데이터로 시스템의 모든 입출력 거동을 완전히 특성화할 수 있다는 정통적인 결과입니다. 이는 데이터 기반 제어 (Data-driven control) 의 핵심 이론적 기반입니다.
• 기존 방법의 한계:
  1. 조건이 충분조건일 뿐 필요조건이 아님: PE 조건은 데이터가 정보를 담고 있는지 사후에 검증하는 기준 (행렬의 랭크) 일 뿐, 입력을 어떻게 설계해야 하는지에 대한 구체적인 구성 규칙을 제공하지 않습니다.
  2. 과도한 요구 사항: 시스템 차수 $n$을 알 때, 모든 초기 조건에 대해 정보를 담는 데이터를 얻기 위해 PE 차수가 $L+n$ 이상이어야 한다고 알려져 있습니다. 이는 입력 신호의 길이나 복잡도를 불필요하게 높일 수 있습니다.
  3. 이산시간에 국한: PE 조건은 본질적으로 이산시간 입력에 맞춰져 있어, 연속시간 시스템으로의 자연스러운 확장이 어렵습니다.
• 연구 목표: PE 조건을 완화하여, 거의 모든 (almost all) 시스템과 초기 조건에 대해 유효한 정보를 생성할 수 있는 입력 신호의 조건을 찾거나, 더 낮은 차수의 신호 생성기를 사용하여 동일한 효과를 얻는 방법을 모색하는 것입니다.

2. 방법론 (Methodology)

저자는 행동 이론 (Behavioral theory) 에서의 PE 조건을 포기하고, 동역학 시스템 이론 (Dynamical systems theory) 으로 관점을 전환하여 신호 생성기 (Signal Generator) 모델을 도입했습니다.

• 신호 생성기 모델: 입력 신호 $u(t)$를 다음과 같은 자율적 LTI 시스템의 출력으로 간주합니다.
  $$w(t+1) = S_g w(t), \quad u(t) = L_g w(t)$$
  여기서 $w$는 생성기 상태, $S_g$는 시스템 행렬, $L_g$는 출력 행렬입니다.
• 가정:
  1. $(L_g, S_g)$는 관측 가능 (Observable).
  2. $(S_g, w_0)$는 제어 가능 (Controllable).
  3. 시스템 행렬 $A$와 생성기 행렬 $S_g$의 고유값 집합이 서로소 ($\sigma(A) \cap \sigma(S_g) = \emptyset$).
• 해석적 접근:
  • 생성기와 원 시스템을 결합했을 때, Sylvester 방정식 ($A\Pi + BL_g = \Pi S_g$) 을 통해 불변 다양체 (Invariant manifold) 를 정의합니다.
  • 입출력 행렬 (Hankel matrix) 을 생성기 상태 $w$와 오차 상태 $\bar{x}$로 분해하여 분석합니다.
  • Hankel 행렬의 랭크가 시스템의 전체 입출력 공간과 일치하는지 (Informative 데이터인지) 를 생성기의 차수 $N_g$와 데이터 길이 $T$의 관점에서 분석합니다.

3. 주요 기여 및 결과 (Key Contributions & Results)

A. PE 조건과 생성기 차수의 관계 규명

기존 PE 차수 $K$와 신호 생성기의 상태 차수 $N_g$는 밀접한 관계가 있음을 보였습니다.

• 생성기 차수 $N_g$가 $K$일 때, 생성된 신호의 최대 PE 차수는 $K$입니다.
• 이를 통해 PE 조건을 생성기의 차원 (Dimension) 조건으로 재해석할 수 있게 되었습니다.

B. 새로운 기본 보조정리 (The New Fundamental Lemma)

논문은 Theorem 1을 통해 기존 윌렘스 보조정리를 다음과 같이 완화했습니다. 시스템 차수를 $n$, 필요한 윈도우 길이를 $L$이라고 할 때:

1. 필요 조건: 생성기 차수 $N_g < L$이면, 어떤 초기 조건에서도 정보를 담는 데이터를 얻을 수 없습니다.
2. 거의 모든 경우에서의 충분 조건 (핵심 결과):
   • 기존: 모든 초기 조건에 대해 정보를 담기 위해 $N_g \ge L + n$이 필요했습니다.
   • 새로운 결과: $N_g \ge L$이면, 거의 모든 (Lebesgue measure zero 인 예외 집합 제외) 초기 조건에 대해 정보를 담는 데이터를 얻을 수 있습니다.
   • 이는 시스템 차수 $n$만큼의 여유를 두지 않아도 된다는 것을 의미하며, 입력 신호의 복잡도를 크게 낮출 수 있습니다.
3. 데이터 길이 조건: $T \ge N_g + n + L - 1$인 데이터 길이가 충분합니다. (기존 PE 조건 대비 더 짧은 데이터 길이로도 가능할 수 있음).

C. 구체적인 예시 및 함의

• 코롤러리 2 (Corollary 2): 시스템 차수 $n$을 알고 있을 때, 생성기 차수 $N_g = n+1$인 신호를 길이 $T=3n+1$만큼 적용하면, 거의 모든 시스템과 초기 조건에 대해 랭크 조건을 만족하는 정보를 얻을 수 있습니다.
  • 기존 PE 조건 ($PE \ge 2n+1$) 에 필요한 길이 $T \ge 4n+1$보다 더 짧은 데이터로 동일한 효과를 달성할 수 있음을 보여줍니다.
• 입력 신호의 확장: 기존 PE 조건을 만족하지 않는 신호 (예: 주파수가 적은 다중 사인파, 짧은 무작위 신호 등) 도 생성기 관점에서는 유효한 입력이 될 수 있음을 증명했습니다.

D. 연속시간 시스템으로의 확장 (Continuous-time Extension)

• 이산시간에서의 분석을 자연스럽게 연속시간 LTI 시스템으로 확장했습니다 (Theorem 2).
• 연속시간에서도 생성기 차수 $N_g \ge L$이면 거의 모든 초기 조건에서 정보를 담는 데이터를 얻을 수 있음을 보였습니다. 이는 행동 이론 기반의 PE 조건이 연속시간으로 직접 적용되기 어려웠던 점을 해결합니다.

4. 의의 및 결론 (Significance & Conclusion)

1. 실용적인 입력 설계 가이드: PE 조건은 사후 검증 기준이었으나, 신호 생성기 관점은 구체적인 입력 설계 지침을 제공합니다. 연구자는 원하는 정보 수준 ($L$) 에 맞춰 생성기 차수 ($N_g$) 를 설계하면 됩니다.
2. 효율성 향상: 시스템 식별이나 데이터 기반 제어를 위해 필요한 데이터의 길이와 입력 신호의 복잡도를 줄일 수 있습니다. 특히, $N_g \ge L$ 조건은 $N_g \ge L+n$이라는 기존 조건보다 훨씬 덜 보수적입니다.
3. 이론적 통찰: 윌렘스의 보조정리를 "행동 이론"에서 "동역학 시스템 이론"으로의 관점 전환을 통해 재해석함으로써, PE 조건의 본질을 더 깊이 이해하고 이를 완화할 수 있는 새로운 길을 열었습니다.
4. 광범위한 적용성: 기존 PE 조건을 만족하지 못해 배제되었던 다양한 입력 신호 (예: 주파수가 제한된 다중 사인파) 가 실제로는 거의 모든 시스템에 대해 유효할 수 있음을 보여주어, 데이터 기반 제어의 적용 범위를 넓혔습니다.

요약하자면, 이 논문은 신호 생성기 (Signal Generator) 모델을 도입하여 윌렘스의 기본 보조정리를 실용적으로 완화하고, 더 짧은 데이터와 더 낮은 차수의 입력으로도 거의 모든 시스템에 대한 정보를 얻을 수 있음을 증명함으로써 데이터 기반 제어 및 식별 분야의 이론적 기반을 강화했습니다.