A note on input signal generators: A relaxation of Willems' fundamental lemma in the SISO case

1. Problemstellung

Das Paper adressiert das Problem der Identifikation und Steuerung unbekannter diskreter und kontinuierlicher linearer zeitinvarianter (LTI) Systeme im Single-Input-Single-Output (SISO)-Fall basierend auf Eingangs-Ausgangs-Daten.

Der zentrale Bezugspunkt ist das Fundamental Lemma von Willems. Dieses Lemma besagt, dass Eingangs-Ausgangs-Daten die gesamte Systemdynamik vollständig charakterisieren können, wenn der Eingangssignal eine hinreichend hohe Persistenz der Erregung (Persistency of Excitation, PE) aufweist.

• Herausforderung: Die klassische PE-Bedingung ist eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung. Sie erfordert oft sehr lange Datenreihen oder Signale mit vielen Frequenzen (z. B. Multisinus-Signale mit $2n+1$ Frequenzen für ein System der Ordnung $n$), um für alle möglichen Anfangszustände informative Daten zu garantieren.
• Offene Frage: Gibt es Eingangs-signale, die die strenge PE-Bedingung nicht erfüllen, aber dennoch für fast alle Systeme und fast alle Anfangszustände informative Daten liefern? Zudem ist die PE-Bedingung oft schwer konstruktiv für das Signal-Design anzuwenden, da sie eher ein Nachkriterium (über die Hankel-Matrix) als eine Erzeugungsregel ist.

2. Methodik

Die Autoren wechseln den theoretischen Rahmen von der Verhaltens-Theorie (Behavioral Theory) zurück zur Systemtheorie dynamischer Systeme. Anstatt den Eingangssignalen direkt PE-Bedingungen aufzuerlegen, modellieren sie die Eingangs-signale als Ausgang eines Signalgenerators.

• Signalgenerator-Modell: Der Eingang $u(t)$ wird als Ausgang eines autonomen LTI-Systems (des Signalgenerators) betrachtet:
  $$w(t+1) = S_g w(t), \quad u(t) = L_g w(t)$$
  wobei $w$ der Zustand des Generators der Dimension $N_g$ ist.
• Annahmen:
  1. Das Paar $(L_g, S_g)$ ist beobachtbar.
  2. Das Paar $(S_g, w_0)$ ist steuerbar (der Anfangszustand regt alle Moden an).
  3. Die Spektren von Systemmatrix $A$ und Generator-Matrix $S_g$ sind disjunkt ($\sigma(A) \cap \sigma(S_g) = \emptyset$), was generisch gilt.
• Analyseansatz: Die Autoren untersuchen die Interkonnektion von System und Signalgenerator. Sie nutzen die Sylvester-Gleichung $A\Pi + B L_g = \Pi S_g$, um eine invariante Mannigfaltigkeit zu definieren. Dies ermöglicht eine Zerlegung der Eingangs-Ausgangs-Hankel-Matrix in strukturelle Komponenten, die von der Dimension des Signalgenerators ($N_g$) und der Systemordnung ($n$) abhängen.

3. Schlüsselbeiträge

1. Relaxierung der PE-Bedingung: Die Autoren zeigen, dass die strenge PE-Bedingung von Willems für fast alle Systeme und Anfangszustände relaxiert werden kann.
2. Dimension als Kriterium: Statt die Ordnung der PE zu fordern, wird die Dimension $N_g$ des Signalgenerators als primäres Designkriterium etabliert.
3. Notwendige und hinreichende Bedingungen: Es werden exakte Bedingungen für $N_g$ hergeleitet, die garantieren, dass die gesammelten Daten informativ sind (d.h. den Raum aller möglichen Eingangs-Ausgangs-Fenster aufspannen).
4. Erweiterung auf kontinuierliche Zeit: Das Konzept wird nahtlos auf kontinuierliche LTI-Systeme übertragen, indem Jets (Ableitungen) anstelle von Zeitfenstern verwendet werden.

4. Hauptergebnisse

Das zentrale Ergebnis ist Theorem 1 (für diskrete Zeit) und Theorem 2 (für kontinuierliche Zeit). Die Bedingungen für informative Daten hängen von der Fensterlänge $L$ und der Systemordnung $n$ ab:

• Fall A ($N_g < L$): Die Daten sind für keinen Anfangszustand informativ.
• Fall B ($L \le N_g < L + n$):
  • Unter der klassischen Willems-Bedingung ($N_g \ge L+n$) wären Daten für alle Anfangszustände informativ.
  • Die Autoren zeigen jedoch: Wenn $N_g \ge L$ gilt, sind die Daten für fast alle Anfangszustände $x(0)$ informativ.
  • Es existiert nur eine Menge $E_2$ von Anfangszuständen mit Lebesgue-Maß Null, für die die Daten nicht informativ sind.
  • Praktische Implikation: Um ein System der Ordnung $n$ zu identifizieren, reicht ein Signalgenerator der Dimension $N_g = n+1$ (anstatt $2n+1$) aus, um für fast alle Fälle informative Daten zu erhalten.
• Fall C ($N_g \ge L + n$): Die Daten sind für alle Anfangszustände informativ (entspricht der klassischen Willems-Bedingung).

Konkretes Beispiel (Corollary 2):
Für ein System der Ordnung $n$ und eine Fensterlänge $L=n+1$:

• Willems (klassisch): Erfordert $PE \ge 2n+1$, was oft eine Signallänge von $T \ge 4n+1$ und viele Frequenzen bedeutet.
• Neue Methode: Ein Signalgenerator der Dimension $N_g = n+1$ mit einer Signallänge von $T = 3n+1$ reicht aus, um die notwendige Rangbedingung der Hankel-Matrix für fast alle Systeme und Anfangszustände zu erfüllen.

5. Bedeutung und Implikationen

• Praktische Effizienz: Die vorgeschlagene Methode erlaubt die Verwendung kürzerer Eingangssequenzen und Signale mit weniger Frequenzen (z. B. Multisinus-Signale mit weniger Frequenzen als bisher angenommen), was den Aufwand für Datenerhebung und Experimentdesign reduziert.
• Konstruktives Design: Durch den Fokus auf den Signalgenerator erhalten Ingenieure eine direkte Bauanleitung für Eingangs-signale (Wahl von $S_g$ und $L_g$), anstatt nur ein Nachkriterium für bereits generierte Signale zu haben.
• Erweiterung des Input-Spektrums: Signale, die früher als „nicht informativ" abgetan wurden, weil sie die strenge PE-Bedingung nicht erfüllten (z. B. Sinusfolgen mit wenigen Frequenzen), werden als nutzbar für fast alle Anwendungen identifiziert.
• Brücke zur Modellreduktion: Der Ansatz knüpft an die Theorie der Momentenabstimmung (Moment Matching) an, was die Verbindung zwischen Daten-getriebener Steuerung und klassischer Systemtheorie vertieft.

Zusammenfassend bietet das Paper einen theoretisch fundierten, aber praktisch anwendbaren Weg, die Anforderungen an Eingangs-signale für die datengetriebene Systemidentifikation zu senken, indem es die Notwendigkeit einer universellen PE-Bedingung durch eine Bedingung für „fast alle" Fälle ersetzt, die auf der Dimension des Signalgenerators basiert.